La diagonale inesistente e la parte che contiene il tutto

La diagonale del quadrato, il numero che spaventava i pitagorici, e altri utili paradossi.

Mach fu un fisico di valore e si occupò di tante cose, compreso il moto supersonico.

In volo ad alta velocità si fa riferimento al numero di Mach, che è il rapporto tra la velocità dell’aereo e la velocità del suono.

Fig. 1  Superamento della velocità del suono

Mach aveva una forte propensione per la matematica e la filosofia. Era un positivista e rifiutava qualsiasi teoria fisica che invocasse una grandezza non misurabile. Questo lo portò a rifiutare il concetto di atomo e quindi ad opporsi fieramente a Boltzmann e alla sua teoria cinetica dei gas.

L’esistenza degli atomi sarebbe stata provata in seguito: al momento era solo una ipotesi di lavoro. Il purista Mach, brandendo forse il famoso rasoio di Occam, criticò duramente il lavoro di Boltzmann che ne fu amareggiato, cadde in depressione, ed infine si suicidò.

Mach aveva buone ragioni filosofiche, anche se lui stesso non le avrebbe più invocate pochi anni dopo, date le nuove evidenze sperimentali su molecole ed atomi. Di fatto Mach agì come un freno, fortunatamente inefficace, contro lo sviluppo della teoria cinetica dei gas.

Boltzmann fu più innovativo, nel suo campo, ma meno rigoroso filosoficamente, il che però fu un vantaggio per la fisica. Il meglio sta nel mezzo. Il rigore deve esserci, ma deve anche venire dopo il momento creativo. Anche in matematica è così: nessun teorema nasce dalla dimostrazione, ma è concepito inizialmente come congettura.

Anche Fourier fu molto criticato ma, per fortuna, il suo metodo funzionò tanto bene che l’uso si diffuse prima della giustificazione rigorosa. Fourier era un giovane ingegnere, non un matematico. Ancora oggi non si sa esattamente il limite di validità delle serie di Fourier. Cantor si occupò anche di questo. Fu una gran fortuna perché il suo punto di partenza fu un autentico gioiello da cui prese avvio la teoria degli insiemi. E’ stato fatto osservare che assai raramente in matematica una nuova e feconda branca nasce da una sola persona.

Torniamo al modello atomico. L’esistenza reale di molecole ed atomi è un dato di fatto. Il microscopio elettronico distingue singoli atomi. Il grafene è uno strato monoatomico di atomi di carbonio con incredibili proprietà meccaniche ed elettriche. Gli elettroni possono essere contati persino singolarmente e si conosce precisamente il valore della loro carica elettrica.

Eppure tutto questo è solo la metà materiale del mondo.

Diamo una occhiata anche al mondo immateriale, matematico e geometrico.

1) Le terne pitagoriche

Costruiamo un rettangolo con base b = 4 N e altezza h = 3 N, dove N è a piacere. Per fortunata combinazione 3 e 4 fanno parte della terna pitagorica (3, 4, 5), cioè sono lati di un triangolo rettangolo: 3^2 + 4^2 = 5^2

Fin dalla antichità si sono usate queste lunghezze (3N, 4N, 5N) per costruire angoli retti. Ci sono anche infinite altre terne pitagoriche, ma si tratta pur sempre di casi assai particolari rispetto a tutte le terne di numeri interi che possiamo concepire.

Sono terne pitagoriche (a, b, c) tutte quelle costruite con la regola:

a = m^2 – n^2; b = 2m n; c = m^2 + n^2     con  n < m  interi

Tab. 1  Alcune terne pitagoriche (a, b, c).

2) Quanti guai da un quanto

Il guaio appare quando si considerano triangoli rettangoli qualsiasi i cui lati non misurano secondo terne pitagoriche. Caso classico: un triangolo rettangolo isoscele ovvero la diagonale del quadrato:

Pitagora ci assicura che D^2 = 2 L^2 e quindi D / L = √ 2. Ma la radice quadrata di 2 non è un numero razionale: non è esprimibile come rapporto di due numeri interi p, q. La differenza tra √ 2 e qualsiasi rapporto razionale p / q è irriducibile. Esiste una bellissima dimostrazione: è un buon esercizio di logica. Pare che risalga ad Ippaso (500 aCn). La si trova dappertutto:

http://www.gpmeneghin.com/schede/aritmetica/rad2.htm

Il piano, la linea, il punto senza dimensioni, sono astrazioni, ma anche cose utili in pratica: la geometria misura i campi, far di conto serve al commercio. Tuttavia le astrazioni ad un certo punto vivono di vita propria. E sono bizzarre.

Duemila e cinquecento anni fa l’umanità fu costretta a inventare numeri da “fuori di testa” o da “non se ne può parlare” tanto che furono battezzati “irrazionali”. Dal lontano passato abbiamo vissuto questa strana storia: il contrasto tra intuizioni atomistiche, provate duemila anni dopo, e brillanti idee astratte che vivono in un mondo non atomico. Tra matematica e scienze naturali c’è un legame stretto, ma non un reciproco appiattimento.

3) Un esperimento

Ora faremo un passo indietro, dall’astratto al concreto. Passeremo dal continuo di infiniti punti senza dimensione al discreto delle figure digitali. Meglio: passiamo all’inchiostro elettronico che è costituito da uno strato di sfere elettrizzate con un emisfero bianco ed un emisfero nero. Un campo elettrico le orienta in modo che mostrino la parte nera o la parte bianca.

Fig. 8  Ingrandimento di una linea formata da pixel

Per il nostro esperimento poniamo di avere tante palline atomiche nel senso letterale di Democrito o di Lucrezio, ma identiche. Con queste palline di diametro d tracciamo delle rette “fisiche”. Possiamo determinare rette ortogonali con le solite terne pitagoriche: per esempio la più semplice e nota (3, 4, 5) moltiplicata per un fattore numerico N intero a piacere. I lati del triangolo rettangolo saranno lunghi rispettivamente: a = 3 N d;  b = 4 N d;  c = 5N d.

Possiamo riempire tutto il piano di palline e colorare solo quelle che ci interessano.

Possiamo anche andare dal centro della pallina, in basso a sinistra, al centro della pallina in alto a destra, con un numero intero di palline perfettamente accostate nel mezzo:

             Fig. 9  Rettangolo con base b = 4d ed altezza a = 3d             fig. 10.  Diagonale c = 5d

Qui siamo fortunati, la diagonale è lunga esattamente 5 diametri (4 diametri + 2 raggi). Però sappiamo che, se volessimo costruire a palline la diagonale di un quadrato non ci riusciremmo mai esattamente. Più piccole e numerose sono le palline, per esempio da 10 a 10^6, più l’errore si riduce, ma non si annulla: 1414213 palline sono poche, ma 1414214 sono troppe.

Tab. 2.  Approssimazioni della diagonale del quadrato

Una natura corpuscolare, atomica, non si concilia con le nostre bellissime astrazioni geometriche, e viceversa, esse non hanno un riscontro esatto in natura. Per certi versi la cosa è distruttiva e scandalosa, e per i pitagorici lo fu davvero. Per altro non è un male assoluto: abbiamo imparato a convivere barcamenandoci tra realtà fisica e modelli matematici e geometrici. Ci accontentiamo di poter fare previsioni realistiche sul mondo reale. Questo non significa perdere il gusto per il ragionamento logico degli antichi, ma neppure perdere secoli di astrazioni. Non ci sogniamo di buttare via l’impulso di Dirac e la teoria delle distribuzioni che lo giustifica. Se mai lo lasciamo in mano anche a chi non conosce la teoria, come lasciamo l’automobile in mano a chi ignora termodinamica, chimica e meccanica.

Possiamo vederla così: progredisce la conoscenza del mondo fisico, che non abbiamo creato noi, ma contemporaneamente progredisce anche la costruzione di un mondo matematico e geometrico, creato da noi. Con un vincolo: la logica. Forse neppure questa è creata da noi. Ricordiamoci tuttavia che il massimo logico moderno, Tarsky, inizia un suo classico testo con una frase molto dura: quanto segue non ha niente a che vedere con la logica aristotelica. Insomma, progrediamo, ma a fatica e camminando su ghiaccio sottile. Incidentalmente: Tarsky non era matto, ma era pur sempre polacco e matematico, il che vorrà pur dire qualche cosa. Dimostrò che una sfera di raggio r può essere decomposta in un numero finito di parti e ricomposta in due sfere di raggio r. Anche il paradosso dell’insieme di Vitali non è male, per far venire il mal di testa. Ma Vitali era saggio a sufficienza per abbandonare gli ambienti universitari.

Fig. 11.  Paradosso di Banach -Tarski.

4) Non sono veri paradossi

Ci sono paradossi veri, sconvolgenti, e paradossi apparenti, come quello di Betrand. In un cerchio di raggio r tracciamo una corda a caso. Quale è la probabilità che la sua lunghezza L ecceda √3 r ?

• Il punto di mezzo giace a caso su un raggio a distanza x dal centro; L > √3 r quando x > r / 2 su una lunghezza totale r. La probabilità è Pr = 1/2
• Dato un estremo della corda, l’altro estremo è a caso sulla circonferenza. La corda L eccede √3 r quando l’angolo al centro eccede 120° su 360°. La probabilità è Pr = 1/3.
• Il punto di mezzo giace a caso nel cerchio. La lunghezza L eccede √3 r quando il punto è esterno ad un cerchio di raggio r / 2 e di area π r^2 / 4 mentre il cerchio di raggio r ha area π r^2 . La probabilità è Pr = 1/4.

Tutte e tre le risposte sono basate sul concetto di probabilità uguale al rapporto tra gli eventi in favore ed il totale degli eventi, ma le risposte sono diverse: 1/2; 1/3; 1/4. Sono corrette tutte e tre. Ma riguardano tre eventi random diversi, con tre corde generate diversamente. Si veda a pag. 11 in Papoulis: Probability, Random Variables and Stochasic Processes. Mc Grow Hill.

5) Una incredibile possibilità

Abbiamo già ricordato lo sconcerto di Galileo quando si accorse che i quadrati perfetti:

• sono meno dei numeri interi visto che non tutti gli interi sono quadrati perfetti:

    1 SI, 2 NO, 3 NO, 4 SI, 5 NO, 6 NO, 7 NO, 8 NO, 9 SI …      ma anche:

• sono tanti quanti i numeri interi, visto che sono numerabili:

1 primo (1), 4 secondo (2), 9 terzo (3), 16 quarto (4), 25 quinto (5), …

Galileo scoprì che la parte a volte è minore del tutto, ma a volta non lo è. La sua saggia decisione fu di accantonare il problema. I tempi non erano maturi.

Poniamo che ad ogni punto P di ascissa x sulla retta corrisponda un dato valore f(x).

Associamo a Q, con posizione angolare φ, il medesimo valore associato a P:  g(φ) = f(x) .

Associamo al punto R, di ascissa d = r φ sul segmento il valore  h(d) = g(φ) = f(x)

Alla fine il valore f(x) in posizione x sulla retta è trasposto in posizione d = r atan(x _/ r) sul segmento di lunghezza  π r.

Possiamo trattare allo stesso modo infinite altre rette riportando la loro informazione su altrettanti segmenti. Poniamo di seguito questi segmenti, ed avremo una retta. Ma questa retta potrà essere ridotta a semicerchio e poi stesa su un segmento… Che mal di testa!

Si può addirittura pensare di concentrare successivamente l’informazione associata ai punti di un cubo a quelli di un piano e poi a quelli di una retta ed infine a quelli di un segmento.

ATTENZIONE!

• Non è fantascienza. Cantor scrive:

“ … Ho dimostrato che tutte le molteplicità, geometriche ed aritmetiche … possono essere

associate in modo univoco e completo a un segmento di retta…”

pag. 45 in “La formazione della teoria degli insiemi (scritti 1872-1899) Mimesis Volti n.76.

• La cosa potrebbe avere applicazioni pratiche (come mostro nel seguito)

6)   Le Serie di Volterra

Le serie di Volterra sono un argomento piuttosto specialistico, ma non esoterico.

Possiamo distinguere i sistemi in 4 classi, per tipi di funzioni coinvolte:

• Lineari senza memoria: y = k x. Proporzionalità e relazione immediata tra x(t) e y(t).
• Non lineari senza memoria y = f(x). Relazione immediata, ma non lineare, tra x e y
• Lineari con memoria. y = “somma” delle risposte impulsive h(τ). Vedremo che vuol dire
• Non lineari con memoria y = serie di Volterra. Somme di risposte impulsive di vario ordine

La proporzionalità è la più amata perché il nostro cervello tende a ragionare proprio in questo modo: effetto proporzionale alla causa. Lo fa anche se non si può proprio dire che x sia causa di y o viceversa, vedi legge di Ohm tra tensione e corrente elettrica: V = R I tanto quanto I = V / R.

Per le relazioni non lineari senza memoria, lo strumento classico sono le serie di potenze:

y = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 + ….         (cfr sviluppi di Taylor e Mac Laurin)

Per le relazioni lineari ma con memoria, ad un impulso in ingresso si osserva un’uscita h(t) non più impulsiva, proporzionale all’ingresso, sempre con la stessa forma. Se l’ingresso è spostato nel tempo la risposta è spostata di altrettanto. Data la linearità del sistema, se l’ingresso x(t) non è impulsivo, può essere scomposto in tanti impulsi elementari successivi, di cui sappiamo la risposta h(τ). Poi basta sommare le risposte. La notazione matematica è meno misteriosa di quanto sembra: specifica esattamente quanto detto sopra a parole. La differenza è che con le parole non si fa di conto, con le formule sì, anche facilmente. Ci riescono persino le scimmie ammaestrate.

y(t) = ∫ x(t-τ) h(τ) dτ

Per le relazioni non lineari con memoria abbiamo sia la risposta h(τ) ritardata, sia il fatto che y(t) dipende in modo non lineare dall’ingresso x(t) come nelle serie. Queste sono le serie di Volterra:

y(t) =y1(t) + y2(t) + y3(t) + …              dove:

y1(t) = ∫ x(t-τ) h1(τ) dτ                    risposta lineare

y2(t) = ∫∫ x(t-τ1) x(t-τ2) h2(τ1, τ2) dτ1 dτ2    risposta quadratica

…                                         …

Le serie di Volterra sono una relazione funzionale di estrema generalità.

Il guaio è la difficoltà di identificare i nuclei h(τ1, … τN).

7)  L’identificazione dei nuclei

Nel decennio 1970-1980 ci fu un gran fervore di studi dedicati alla identificazione dei nuclei di Volterra. Sembra un compito facile. Non lo è. Ogni anno in USA un brillante giovane laureato era pagato per studiare il problema e gli pubblicavano una monografia con i risultati ottenuti. Ci provarono con ingressi sinusoidali, con rumore bianco, con impulsi, e chi più ne ha più ne metta. Tutti lavori apprezzabili ma, ahimè, nessuno utilizzabile in pratica perché non vi era la necessaria separazione del segnale dal rumore. Il metalmeccanico Luigi F. Mojoli studiava lo stesso problema ma con straordinari non pagati. Aveva però il privilegio di una segretaria e del viaggio pagato per presentare le sue pubblicazioni negli USA.

8)  Fase e guadagno differenziali 

La strumentazione analogica fa parte dell’archeologia, ma è pur sempre storia.

HP APPLICATION NOTE 175-1 DIFFERENTIAL PHASE AND GAIN AT WORK

Il segnale di prova in ingresso è la sovrapposizione di:

• un segnale sinusoidale s(t) di piccola ampiezza e di frequenza assegnata, a scelta tra alcuni toni di prova, con frequenze dalla più bassa alla più alta da trasmettere
• di una rampa di grande ampiezza, tale da esplorare tutta la dinamica richiesta, ma molto lenta, tale da potersi considerare quasi statica.

In uscita si osserva l’ampiezza e la fase del segnale sinusoidale s’(t) verso l’ampiezza della rampa. Questa misura era (è) strettamente correlata alle prestazioni del sistema.

C’è una legame fortissimo tra fase e guadagno differenziale e l’insieme dei nuclei di Volterra.

Il problema di identificare i nuclei di Volterra non è più sperimentale, ma analitico.

Non è qui il caso di discuterlo, accenno solo alla soluzione che trovai:

Fase e guadagno differenziali –> Filtro equivalente –> Nuclei di Volterra     dove:

Filtro equivalente = filtro inserito tra modulatore e demodulatore ideali di frequenza

Rimasi affascinato dall’equivalenza tra un insieme di tante funzioni di tante variabili e due sole funzioni, fase e guadagno differenziale, di due sole variabili: la deviazione data dalla rampa e la frequenza del tono di prova. L’ampiezza del tono di prova è irrilevante, basta che sia dominante rispetto al rumore e contemporaneamente abbastanza piccola da non produrre distorsioni, quello è il compito della rampa.

Soltanto molti anni dopo trovai in Cantor la giustificazione di questi incredibili compattamenti di informazione in spazi di dimensioni minori.

I sistemi analogici sono tramontati, ma non mi sorprenderebbe se in futuro si sfruttassero queste strane proprietà matematiche per chissà cosa altro.

9)  Conclusione

Credo di aver mostrato che gli infiniti, il continuo e tante altre diavolerie matematiche non sono soltanto generatori di paradossi ma anche risorse utilissime, in gran parte ancora da sfruttare.

Ho cercato di essere ossequioso verso la matematica evitando accuratamente ogni tono ironico.

Sono anche stato attentissimo a non calpestare o eludere la verità storica.

Ciò premesso, non è colpa mia se Cantor morì pazzo e Boltzmann, depresso, si suicidò.

Io tengo ad avvisare: state lontani da matematica, fisica e filosofia, perché sono pericolose.

Le nonne lo dicevano sempre: chi troppo studia matto diventa.

Ora non lo dicono più, forse perché si studia davvero poco e male.

Proclamo la mia innocenza: sono affermazioni OCSE, PISA, INVALSI.

MIUR…  che disastro!

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