Che modello? Condorcet, Malthus, Club di Roma …

In “Modelli di crescita” ho mostrato come descrizioni differenziali, formalmente assai semplici, conducano a conseguenze facilmente al di là della nostra intuizione.

Qui limiteremo al massimo i tecnicismi matematici: sono insegnati in tutte le scuole superiori, ma sappiamo come va a finire. Ricordiamo due fatti significativi:

• Bastano due equazioni differenziali non lineari per poter avere un sistema caotico. Saperlo non equivale a maneggiare la teoria del caso.
• Possiamo scrivere le equazioni del moto di tre corpi celesti, ma non risolverle analiticamente. Saperlo non fa di noi astronomi esperti di calcolo numerico delle traiettorie.

E’ essenziale avvertire (ed essere avvertiti) che:

• Altro è criticare un modello, per esempio quello di Malthus, proponendo una alternativa, o almeno dimostrandone la fallacia (o i limiti) nel caso di conclusioni assurde.
• Altro è asserire “Malthus è screditato” e basta, oppure citare il poeta Ralph Waldo Emerson e basta. Non ho capito in base a quali calcoli o ragionamenti, Emerson invaliderebbe Malthus.

E’ pure essenziale avvertire (ed essere avvertiti) che:

• Altro è la metallurgia, che ci insegna a costruire buoni bisturi e buone palette di turbina
• Altro è l’uso, buono o malvagio, che possiamo fare della tecnologia

Studiare lo sviluppo di un batterio in una capsula di Petri può essere già abbastanza complicato da mettere in crisi le competenze della maggior parte delle persone. Ciò dovrebbe indurre tutti a:

• Capire i propri limiti, ma anche cercare di superarli ove ragionevolmente possibile
• Cercare almeno di capire ragionamenti e calcoli altrui
• Essere assai cauti nell’aderire a certe conclusioni operative che potrebbero derivare da poca scienza condita da tanto delirio di onnipotenza
• Avere l’onestà intellettuale di non approfittare dei limiti culturali altrui per strumentalizzare

Studiare le dinamiche del nostro mondo anche in assenza dell’uomo, o come quando l’uomo era irrilevante sulla faccia della terra, già coinvolge una quantità di grandezze interconnesse tra loro in modo non lineare e non istantaneo (leggasi relazioni integrodifferenziali non lineari).

Studiare il futuro del mondo con la specie umana dilagante, prevalente, dotata di impredicibile volontà e capacità di azione, è impresa disperata.

Ma ormai studio e meditazione sono necessari, perché non siamo più irrilevanti al mondo.

Del nostro futuro siamo anche artefici, sia pure confusi, maldestri, litigiosi.

Oscilliamo tra il fatalismo del “tanto non possiamo farci nulla” e il delirio di onnipotenza del “fate come diciamo noi illuminati”.

Certamente possiamo fare molti danni, forse anche irrimediabili, sia per cecità nel non fare, sia per arroganza nel fare credendo di sapere tutto.

Ci sopravvalutiamo sia come salvatori del mondo, sia come distruttori. Qualche esempio:

• In Groenlandia maturava l’uva quando l’impatto umano era irrilevante rispetto ad oggi.
• Il ghiaccio antartico attualmente è in aumento, non sappiamo perché.
• I vulcani emettono CO₂ per 0.4 miliardi di tonnellate di C all’anno.

I primi due fatti devono indurre a ridimensionare quanto abbiamo capito del clima, ma il terzo fatto deve far riflettere sul peso antropico che è 35 Gton/anno: due ordini di grandezza superiore a tutti i vulcani. Credo sia dominante anche rispetto alla somma di tutte le altre cause naturali: animali, incendi e quant’altro. Il peso antropico prima della rivoluzione industriale era due ordini di grandezza inferiore. Non è buona cosa togliere spazio alle piante, per cui CO₂ è buon cibo.

Osservazione indisponente: Non sciupate la carta, poveri alberelli! Così predicavano le maestre. I pioppi giovani sono invece quelli di più rapida crescita, assorbono tanto biossido di carbonio, ci donano tanto ossigeno, e pure legno. Che non è un modo stupido di immagazzinare energia solare. Altra provocazione: non è detto che togliere tutto il potere calorifico dalla spazzatura sia il meglio. A Brescia ricavano teleriscaldamento ed energia elettrica, che è un tantino meglio che nascondere tutto, veleni compresi, nella Terra dei Fuochi. Nota: i vecchi copertoni, macinati, servono per fare manti stradali e altre cose. Bruciarli non è una idea particolarmente intelligente.

1) Il Club di Roma

Tanti anni fa lessi con interesse “I limiti dello sviluppo”, opera di ricercatori MIT.

Il lavoro era stato commissionato dal Club di Roma con diretto interessamento di Aurelio Peccei.

Avevo già maturato l’idea che qualsiasi sviluppo illimitato fosse fisicamente impossibile.

La crescita esponenziale non esiste in natura. Si osservano curve logistiche: hanno un inizio simile all’esponenziale ma poi tendono ad un valore di saturazione. Tutte cose note, vedi:

“Anche tu matematico” di Roberto Vacca.

Fig. 3  Curva esponenziale (in rosso) P = Po exp( t / τ ). Parametri Po = 1; τ = 1.8

       Curva logistica (in verde). Parametri Po = 1; K = 10; r = 0.7

Non avevo nulla contro un “limite dello sviluppo”. Ma mi infastidì l’uso di un linguaggio di programmazione inusuale. Mi parve una intenzionale elusione di verifica indipendente.

L’accusa di “aver programmato il computer apposta per dare il risultato voluto” invece non regge.

Un modello esplicita lo scenario. Se sono dati tutti i parametri e le condizioni iniziali, chiunque lo voglia potrà controllare l’evoluzione e, cosa ancora più importante, la sensibilità ai valori assunti. L’attendibilità della previsione stessa non è stimabile in assenza di tutto questo. Che poi gli autori, abbiano volutamente aggiustato le cose per dimostrare “così finisce male” e “così è sostenibile” non è affatto scandaloso, anzi è encomiabile.

Si progettano tante macchine proprio con questo sistema: montandole virtulamente nel computer, osservandone il funzionamento, ottimizzandole. La riprova decisiva sta nel buon funzionamento della macchina reale; ma costi, rischi e difficoltà di sviluppo sono drammaticamente ridotti. Lo sviluppo stesso può essere molto più raffinato, a pari costo e tempo a disposizione.

Ora ogni studente di facoltà scientifiche conosce linguaggi di programmazione specifici per simulazioni al computer, vedi Simulink. Esistono persino linguaggi apposta per manipolare formalmente espressioni matematiche, risolvere equazioni e tanto altro, vedi Matlab. Tra questi due strumenti c’è sinergia. Il concetto di simulazione numerica dovrebbe essere ormai diffuso.

Negli anni 70-80 del secolo scorso le cose erano diverse: le mie simulazioni numeriche erano guardate con sospetto da superiori che non capivano, anche se mi lasciavano fare.

Quaranta anni dopo le cose sono cambiate ma non sono soddisfacenti. Tutti trapestano con tablet e computer, ma quanto al far di conto… Credete a Tullio de Mauro in La cultura degli italiani. Sostiene che finiti gli studi si regredisce di 5 anni in competenza matematica. Per un laureato in discipline non scientifiche significa regredire a livello di terza media.

Qui importa solo osservare che in natura i fenomeni sono sostanzialmente non lineari, ma il nostro cervello non ama andare oltre i rapporti costanti tra causa ed effetto. Altro fatto ostico è il legame non istantaneo tra causa ed effetto. Lasciamo perdere il fatto non trascurabile che già le categorie di causa ed effetto sono quanto meno opinabili. Rimaniamo al fatto matematico: ci sono grandezze legate tra loro non linearmente e non istantaneamente. La brocca non si riempe istantaneamente. Il livello non (sempre) sale proporzionalmente al volume immesso. La stragrande maggioranza delle persone non ha i mezzi per stabilire quantitativamente “dato A accade B”, pure in casi semplici. La descrizione di una macchina può essere complessa. La descrizione del mondo, anche senza l’uomo, è molto più complessa. Se poi ci mettiamo anche una specie dominante assai bizzarra…

Il merito, per me notevole, de I limiti dello sviluppo è stato quello di mostrare ad un largo pubblico un approccio quantitativo, il modo di costruire un modello e di vedere come evolve. Il nostro cervello è abbastanza attrezzato per cercare le grandezze in gioco e le relazioni in piccolo, cioè tra due istanti successivi. E’ invece totalmente inadatto a trafficare con molte variabili, dove il molto magari comincia da tre. Ancora meno è adatto ad intuire la loro evoluzione nel tempo. Per questo si deve ricorrere all’Analisi Matematica e, quando la faccenda si complica, al calcolo numerico.

Il modello di Limits of the Growth può piacere o non piacere, ma non è lecito, a mio parere, dire “non mi piace perché le sue conclusioni non mi piacciono”. Chi vuole una conclusione piacevole ha il dovere di mostrare come essa sia almeno plausibile.

Asserire che “ci è andata sempre bene”, o che “le catastrofi ipotizzate non si sono avverate”, cosa tra l’altro falsa, semplicemente non hanno coinvolto chi lo afferma, non è un modo serio di agire e di pensare. Un mio professore di Fisica Tecnica, usava dire: “La tecnologia risolverà i problemi posti dalla tecnologia”. Pur convinto della sua buona fede, non concordavo con questa scommessa sulla pelle degli altri. Mi ricordava tanto aprés moi le déluge! Che poi c’è stato.

Per 50 anni, con enorme fastidio, ho sempre sentito citare lo stellone come nostro talismano per cavarci dai guai. Ora non più. Sarà che nei guai ci siamo dentro fino al collo?

Lo stesso catastrofico errore, il lassismo in veste buonista, lo stiamo facendo per l’istruzione. Tutti sanno che i quindicenni italiani, in tutte le competenze, sono in fondo alle classifiche OCSE. Ma non ho mai visto sottolineare che questi stessi tra 20 o 30 anni saranno in cattedra. Il sistema è reazionato positivamente il che vuol dire tendenzialmente divergente: il male produce il peggio.

Naturalmente, se è vero che “nessuno fa niente per niente”, anche il catastrofismo potrebbe essere un espediente per strumentalizzarci, ben più che per salvarci la pelle.

Il Club di Roma ha avuto notorietà mondiale, ma anche critiche notevoli.

Alcuni hanno intravisto una intenzione dirigistica, anche orientata ad una politica eugenetica.

Un solo libro o autore non cambiano i destini del mondo, ma possono catalizzare delle reazioni,  i reagenti devono esserci, ed in genere ci sono, magari accumulati in silenzio per anni.

Il Club di Roma risale a quasi mezzo secolo fa. Malthus risale ad oltre un secolo fa.

I due approcci hanno somiglianze e differenze:

• Entrambi si preoccupano di una crescita eccessiva ed infine insostenibile
• Entrambi lasciano spazio mentale e politico a manovre eugenetiche
• Malthus forse è più esplicito nel suggerire un controllo delle nascite
• Il Club di Roma pare vagheggiare un ordine mondiale, una grande pianificazione
• Malthus usa strumenti matematici minimi
• Il Club di Roma si basa su uno studio numerico assai complesso e pesante

Torneremo più tardi a Malthus. Ora occupiamoci di Condorcet e della sua ottimistica visione, esattamente opposta a quella di Malthus. Altra stranezza della Storia: il matematico Condorcet non fa uso di calcoli, ma solo di ragionamenti e, ancora più spesso, di esortazioni (e illusioni).

2) Condorcet

Condorcet è stato, come Lavoisier, uno dei rivoluzionari divorati dalla loro stessa rivoluzione.

Mente acuta, matematico, scoprì un interessante paradosso riguardante le elezioni politiche.

Mi pare che il suo paradosso abbia avuto un seguito importante nella Teoria dei Giochi.

Illuminista, Accademico delle Scienze, Enciclopedista. Considerava illimitato il progresso umano. Quanto ad una possibile vita umana indefinitamente lunga, è meglio fingere di non aver sentito.

Credo che sia ben più urgente una riflessione sul rapporto tra anni lavorativi ed anni in pensione.

Nessuno sa quale sia il massimo nutrimento che la terra può dare, ma “dedurre” che sia infinito è assurdo. Su questo concordo totalmente con Malthus. Mi stupisce la posizione contraria.

Chi vuole sorbirsi le fantasie di Condorcet, o migliorarsi con i suoi buoni propositi, può riferirsi a:

Progress of the Uman Mind. Langer 2009 (traduzione in inglese) o all’originale:

Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain

Mia nonna diceva “Di buone intenzioni è lastricato l’inferno”. Stiamo attenti a non cascarci.

Mi trovo a disagio in un testo tutto discorsivo, mai falsificabile per le sue previsioni quantitative.

Di atteggiamenti sociali forse si può solo parlare, ma di fatto siamo anche limitati da leggi fisiche e dalle loro conseguenze, tutte cose quantitative. Non è lecito dimenticarselo.

Amo la poesia di Leopardi, ma apprezzo anche lo Zibaldone, dove usa registri ben diversi.

Probabilmente sono più portato al pragmatismo anglosassone, all’empirismo inglese, che non allo idealismo continentale. Non per questo sposo l’illusione del tacchino induttivista.

Lasciamo Condorcet per passare a Malthus.

3) Malthus

Credo che sia bene esaminare il suo modello di sviluppo in quanto tale. La questione è chiara:

Sviluppo illimitato? Velocità crescente? Oscillazioni perpetue tra abbondanza e miseria?

whether man shall henceforth start forwards with accelerated velocity towards illimitable, and hitherto unconceived improvement, or be condemned to a perpetual oscillation between happiness and misery

Era chiara, ed oggi è ancora più evidente, l’animosità con cui le opposte fazioni si combattono:

it is much to be lamented that the writers on each side of this momentous question still keep far aloof from each other. Their mutual arguments do not meet with a candid examination. 

Con la povera verità assai malconcia nel mezzo del campo di battaglia:

In this unamicable contest the cause of truth cannot but suffer

Mi pare che il punto di partenza sia corretto: a just theory will always be confirmed by experiment.

Sminuire tirando in ballo a) il noto tacchino induttivista o b) il fatto che senza una idea in mente manco si inizia a raccogliere dati, mi pare fuor di luogo, per non dire capzioso. Insomma, un modo come un altro per non entrare nel merito perché ci è antipatico l’uomo, o perché non ci piacciono le sue conclusioni.

Ritengo doveroso esaminare il modello di Malthus prescindendo totalmente dalle simpatie o antipatie verso Hume o Adam Smith o Wallace, Condorcet, Godwin.

3.1)  Il modello

I due postulati di Malthus sono molto chiari:

• … food is necessary to the existence of man.
• … passion between the sexes is necessary and will remain nearly in its present state.

Sul primo non c’è dubbio: il moto perpetuo umano non lo abbiamo ancora inventato.

Sul secondo si potrebbe discutere a lungo. Non escluderei meccanismi naturali di regolazione per cui la natalità è alta dove è alta la mortalità infantile e viceversa. Il valore mediano di spermatozoi / mm³  si è ridotto sotto la metà in pochi decenni. Ci si riproduce anche con meno, per ora.

Possiamo rimandare l’esame di questo secondo punto.

Andiamo subito alle due conclusioni di Malthus, che io invece considero ancora assunzioni, frasi immediatamente traducibili in equazioni, e quindi specificazioni del modello adottato:

1. I) Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.
2. II) Subsistence increases only in an arithmetical ratio.

3.2)  La progressione geometrica della popolazione

La proposizione (I) è assolutamente corretta purché non sia nulla l’attività riproduttiva.

Ovviamente la (I) cade se si toglie la parola unchecked. Ma non è lecito toglierla.

Dire crescita geometrica o crescita esponenziale è la stessa cosa.

Fig. 4  Punti rossi: progressione geometrica P(t) = Po q^t.  Po = 1; q = 1,028

       Curva nera: esponenziale P(t) = Po exp(k t). Po = 1; k = ln(q) =0.0277

In natura esiste sempre un controllo, una retroazione della popolazione su se stessa, un effetto dei limiti fisici. Dal batterio all’uomo, nulla cresce mai esponenzialmente. Però ogni sviluppo inizialmente è (circa) esponenziale. Fino a che il limite c’è, ma è tanto lontano che non ci siamo ancora andati a sbattere contro, e nemmeno sappiamo bene dove sia, non ne sentiamo l’effetto: ci pare non esista.

La riprova storica è data dallo sviluppo della popolazione europea migrata in America. E’ come aver messo una piccolissima quantità di batteri in una capsula di Petri: che per loro è sterminata e fertile pianura. Di fatto si ebbe una progressione spiccatamente geometrica con raddoppio della popolazione in circa 25 anni [ q = ln(2) / 25 = 0.0277 ].

In the United States […] the population has been found to double itself in twenty-five years.

La prima assunzione di Malthus è pertanto corretta e comprovata, come era da attendersi. Se mai fu un colpo di fortuna (non per i nativi però) aver avuto una riprova storica attendibile, in quanto essa richiede il concorso di due eventi conflittuali:

• avvenire in tempi abbastanza moderni per avere una misura attendibile della popolazione e
• avere ancora a disposizione grandi spazi fertili pronti per l’uso.

3.3)  Fine della festa

Passata la fase di disponibilità naturali esuberanti (erroneamente ritenute illimitate) la reazione della popolazione sul suo stesso sviluppo si fa inevitabilmente sentire.

Quando la velocità di sviluppo inizia a calare, allora possiamo sapere dove è il limite, anche se è ancora lontano.

Non è qui il caso di entrare in particolari matematici, ma il concetto è semplice: assunto un modello, trovato il tipo di risultato a cui ci conduce, qui P(t) = f(t, Po, K, r), si determinano i parametri in modo che l’errore medio rispetto ai valori misurati sia nullo e che sia minimo l’errore quadratico medio.

Qui però siamo andati oltre Malthus, oltre lo sviluppo esponenziale.

La prima conclusioni è favorevole a Malthus, a condizione che si rispetti l’assunzione P << K.

Lo sviluppo esponenziale della popolazione è corretto se le risorse sono esuberanti.   

Aggiungiamo però anche questo:

1. Nessuna popolazione infinita è sostenibile.
2. Esiste un meccanismo naturale per cui si passa da crescita esponenziale a logistica.
3. Nella migliore delle ipotesi la tendenza al massimo sostenibile è una graduale frenata.
4. Esistono molti motivi per cui un sistema diventa instabile.
5. In un sistema instabile si alternano periodi di prosperità e di carestia.

3.4)   Le risorse disponibili

L’incremento lineare (II) delle risorse disponibili che Malthus considera non ha una giustificazione altrettanto forte della crescita geometrica (I). Dobbiamo considerare la (II) come una assunzione tra le tante ipotizzabili.

Quando la disponibilità di cibo supera le necessità siamo nelle stesse condizioni di un ambiente poco colonizzato e completamente disponibile. La crescita ovviamente diventa esponenziale.

Anche partendo dal modello logistico si arriva alla stessa conclusione perché il limite K tende ad infinito. Altro modo ancora di vedere le cose è assumere che la popolazione produca cibo in rapporto costante con se stessa. E’ quello che è avvenuto inizialmente negli Stati Uniti d’America.

In Europa, totalmente e da lungo tempo colonizzata, lo sviluppo è stato molto diverso e pure sofferto. Malthus osserva tratti esponenziali solo dopo guerre e pestilenze, cioè quando si avverte la necessità e la voglia di ripopolare. Per altro anche il baby boom fu tra il 1945 e il 1964.

Tra le tante assunzioni possibili, tutte da giustificare almeno come ipotesi per vedere “che accade se”, possiamo distinguere:

1. La più ottimista: Sostentamento in crescita parallela alla popolazione

Assunzione irrealistica e con conseguenze paradossali di divergenza ad infinito

1. Quella intermedia di Malthus: crescita lineare delle disponibilità
2. Quella stagnante: disponibilità sostanzialmente costanti nel tempo
3. Quelle catastrofiche: disponibilità in calo, se non in esaurimento.

Malthus pone l’enfasi sul cibo, ma esistono anche altri fattori necessari alla sopravvivenza.

I limiti dello sviluppo considera con preoccupazione l’esaurimento delle risorse (D).

Tolta di mezzo l’idea consolatoria ma assurda (A), e l’ipotesi catastrofica (D), Malthus ha scelto l’ipotesi più ottimista rimanente. Questo mi pare doveroso riconoscerlo.

Per l’assunzione (II) sulle disponibilità, Malthus non ha addotto prove di forza comparabile con le prove logiche, matematiche, empiriche, che giustificano l’assunzione (I) sulla crescita (fermo restando che trattasi di crescita libera e quindi soltanto iniziale). La crescita lineare delle disponibilità nel tempo è solo una assunzione, tra l’altro avvertita come potenzialmente ottimista. Ometto i rimandi al testo. Per leggere le 120 pagine di Malthus ci vuole meno del tempo che si spende per discuterne senza averle lette.

3.5)  Pochezza matematica

Malthus non è un matematico, usa una matematica elementare, e possiamo anche capirlo. Il suo saggio ebbe larga diffusione e notevole impatto. Se avesse fatto sfoggio di matematica avrebbe scritto solo per se stesso o, al massimo, per i suoi più stretti e pazienti amici. Quante persone prima di discutere a parole un risultato numerico si prendono la briga di controllarlo? La scuola oggi impartisce a tutti le nozioni elementari di Analisi Matematica, ma quanti sanno maneggiare una equazione differenziale? Se poi è non lineare? Il trucco preferito dai professori universitari è una bella linearizzazione (pialliamo le gobbe!) seguita da una elegante integrazione analitica. Eppure molto si può capire con calcolo numerico, il lavoro bruto lo fa il computer.

4) Effetto delle due assunzioni

Il modo più semplice di vedere che accade secondo il modello di Malthus è porre in grafico lo sviluppo nel tempo della popolazione P(t) e delle risorse R(t) disponibili. Per un confronto diretto la scala delle risorse deve essere uguale a quella della popolazione, per esempio R = 10 significa cibo necessario per 10 (milioni) di persone se P = 10 (milioni). E’ del tutto evidente che, per quanto piccola sia la ragione geometrica della crescita, e per quanto grande sia la pendenza lineare, o elevato il margine in partenza, la disponibilità di cibo, inizialmente esuberante, sarà ben presto in difetto. L’incrocio (R = P) avverrà dopo un certo tempo Tx.

Le condizioni assunte da Malthus sono: P = 7 milioni di popolazione, con raddoppio geometrico in 25 anni; cibo iniziale R = 7 milioni, con incremento lineare di 7 milioni ogni 25 anni. Si vede un buon equilibrio (con leggerissimo eccesso di cibo) fino a 25 anni, dopo di che inizia la divergenza della popolazione P rispetto al cibo R e quindi la fame. Una migliore partenza con cibo addirittura doppio, ma sempre crescente solo di 7 milioni ogni 25 anni, sposta l’incrocio Tx da 25 a 50 anni. Se il valore di partenza del cibo fosse quello appena necessario per 7 milioni, ma la crescita fosse doppia, la crisi si sposterebbe a Tx = 66 anni.

Tab. 1  Tempi e valori di incrocio Tx tra popolazione P e risorse Ra, Rb, Rc

       Parametri delle crescite lineari: ka, kb, kc

 5)  Falsificazione del modello di Malthus? 

Il modello prevedeva il momento critico, Tx, abbastanza prossimo mentre è passato più tempo e siamo ancora qui a chiederci quando arriverà la catastrofe. Però chi critica e non sa o non vuole fare meglio di Malthus, mi lascia dubbioso sul piano tecnico e su quello delle sue intenzioni.

In realtà il modello è da usare con buon senso. Non è lecito dire: al tempo Tx sarà la catastrofe. La transizione da crescita geometrica (irrealistica su tempi lunghi) a crescita logistica (modello minimo per essere credibile su tempi lunghi) avviene persino prima di Tx. Si rimanda la catastrofe, in un certo senso la si “annulla” diluendola. Ciò non esclude tanti morti per fame. Però in silenzio.

Su tempi lunghi, occorre anche ammettere variazioni parametriche:

• La produttività del suolo, che può variare bruscamente più che gradualmente
• La fertilità della popolazione che può variare per cause naturali o artificiali

Per avere un confronto realistico tra P(t) ed R(t), non si possono tracciare le due curve di Malthus come se fossero determinate da due equazioni separate e indipendenti, quali:

P(t) = Po q^t       (3)      p.e.  Po = 7;  q = 2^1/25 = 1,028

R(t) = Ro + k t     (4)      p.e.  Ro = 7;  k = 7/25 = 0.28

Questo è tutto quello che poteva fare descrittivamente Malthus senza equazioni differenziali non lineari: descrivere separatamente i due andamenti ragionevolmente ipotizzati in base ad alcune evidenze empiriche. La via maestra è un’altra. Oggi la possiamo percorrere senza fatica grazie a grandi potenze di calcolo disponibili a costi irrisori. Dobbiamo solo ammettere un modello logistico con parametri di sviluppo (r) e di controreazione (K) dinamici, cioè diversi in diversi successivi periodi di tempo. Per il passato occorre “soltanto” ricavare r, K dai dati empirici P(t), R(t) relativi ai vari intervalli. Per il futuro non si può far altro che tentare di indovinare la tendenza in base a quanto già accaduto. Per esempio è ragionevole pensare che il cibo (ed altre risorse) abbia dei salti in corrispondenza di innovazioni significative. Irragionevole è invece dare per fatte invenzioni ancora da fare. Nell’incertezza del futuro è doveroso studiare onestamente vari scenari.

La figura seguente è calcolata numericamente tramite la (5) con r, K specifici, tab. 1.

P(t+Dt) = P(t) + r P (1 – P/K) Dt       (5)

Fig. 7  Esempio di sviluppo secolare.

La fig. 7 non è la fotografia del secolo scorso e neppure la previsione del secolo futuro: è soltanto un “dato questo accade questo”. Può servire per riflettere su ciò che non possiamo cambiare, come le leggi fisiche, e ciò che possiamo cambiare, come alcune nostre abitudini.

Tab. 2 Parametri dei quattro periodi

In fig. 7 non compare la risorsa R perché il cibo consumato (nella unità di misura già detta) coincide con la popolazione P. E’ invece riportata la disponibilità di cibo K che, nella stessa unità di misura, è la massima popolazione sostenibile al momento. La differenza M = K – P è il margine. Il rapporto S = K / P deve essere considerato come un coefficiente di sicurezza. S > 1 è necessario per la sopravvivenza di tutti. S < 1 condanna alla fame tutti, oppure alla morte molti.

6)  Che fare?

Mi pare opportuno discernere il grano dal loglio (Matteo 13,24-30) perché la zizzania è tossica. Da Malthus possiamo imparare il rispetto per chi la pensa in modo diverso da noi, l’attenzione ai dati empirici, la buona volontà nel farci una ragione ragionata, cioè un modello. Per ultimo, ma non di minore importanza, possiamo imparare che i bei sogni rimangono solo sogni. Molte mosse sociali si ritorcono contro i più deboli, purtroppo non contro gli autonominati apostoli dei deboli.

In Pareto ho trovato questa riflessione: Alcune evidenti ingiustizie impongono una nuova legge. Si può concordare in perfetta buona fede. Ma queste brutte cose sono l’effetto collaterale di una legge precedente. Che a sua volta intendeva correggere evidenti ingiustizie … Non è un regresso all’infinito, ma ci assomiglia. Tutto nasce più dalla incapacità di prevedere gli effetti a lungo termine delle nostre azioni, che dal “mondo che cambia”.

Malthus mi pare abbia una idea affine quando critica programmi sociali (in cui ammette di aver creduto) perché ottengono risultati opposti al desiderio. Fa anche proposte concrete per alleviare la miseria dei lavoratori, dopo aver osservato che:

farmers and capitalists are growing rich from the real cheapness of labour.

Discutere se e quanto loglio Malthus abbia mischiato al suo grano è un discorso a parte, che coi modelli ha poco a che fare. Un cucchiaino può essere usato per imboccare un bimbo o per cavargli un occhio, ma questo non ha niente a che vedere con la metallurgia.

Credo che Malthus ci abbia indicato una via per iniziare a valutare quantitativamente ciò che stiamo facendo. In questo senso mi pare che I limiti dello sviluppo siano una logica evoluzione, anche se a mio parere è opera sospetta. Del buon Condorcet invece direi parce sepulto. I sogni e le utopie sono lusso per pance piene e mezzi efficaci per intruppare.

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