Metafisica medievale e fisica moderna

Metafisica medievale e fisica moderna

di Giorgio Masiero

Come la filosofia classica precorse la tecno-scienza nell’intuizione della struttura dello spazio-tempo e della quantizzazione della materia-energia

Quando alla lezione di filosofia del liceo appresi dei paradossi di Zenone di Elea (V sec. a.C.), cioè

• della freccia che non raggiunge mai il bersaglio perché prima deve fare metà percorso, e prima ancora un quarto, e così via, sicché deve passare per infiniti punti prima di toccare l’obiettivo;
• o di Achille piè veloce che non può superare la tartaruga partita con un piccolo vantaggio, perché prima deve recuperare il gap iniziale, poi il cammino fatto dalla tartaruga nel frattempo, ecc.;
• …,

stetti muto: di quanti istanti è fatto un intervallo di tempo? come si concilia il moto nello spazio reale con le proprietà dello spazio geometrico? E ristetti perplesso, con una punta d’amaro in bocca, quando il professore di matematica e fisica snobbò il ragionamento di Zenone con le serie geometriche convergenti: pensava che ad Elea non avessero mai visto un sorpasso o una freccia ficcarsi sul bersaglio? Era ovvio per me che il discepolo del grande Parmenide non negava la realtà, ma piuttosto riproponeva il problema del rapporto tra essere e divenire, mostrando i limiti e le contraddizioni del linguaggio, in particolare della matematica usata per descrivere il moto dei corpi.

Presso i greci la geometria non era un ramo della matematica, ma della fisica (“gê-metron”, misura della Terra) o, in linguaggio moderno, il cammino reale della freccia era per essi modellizzato perfettamente da una linea immaginaria della geometria. Fu questa posizione, nei secoli condivisa da tutto l’establishment del pensiero ellenico (da Talete a Pitagora a Euclide, da Platone ad Aristotele ad Archimede), che Zenone attaccò con un ragionamento inattaccabile. L’eleatico arguì che se la linea geometrica è composta soltanto di punti, che oltre ad essere per definizione indivisibili e di lunghezza nulla sono anche infiniti e non giustapposti per il postulato di densità (“Tra due punti di una retta, ce n’è sempre uno in mezzo”), se è così il risultato dell’unione di punti è 0 + 0 + 0 +… = 0! Allora – sfida tuttora Zenone i metodi matematici della fisica – donde emerge la lunghezza della traiettoria di Achille? come può passare la freccia da un punto all’altro se non c’è un punto dopo l’altro?! 

L’intuizione della continuità del tempo contraddice la non consecutività dei punti postulata dalla geometria. Oggi come ai tempi di Zenone, questa è una contraddizione logica irrisolvibile. Due celebri matematici dei nostri giorni scrivono: “Quando si ha anche fare con una variabile continua x che varia in un intervallo dell’asse dei numeri reali, è impossibile descrivere come x possa ‘approssimarsi’ al valore determinato x1, in modo da assumere consecutivamente e nel loro ordine di grandezza tutti i valori dell’intervallo. Infatti i punti di una retta formano una classe densa, e dopo che è stato raggiunto un dato punto non vi è un punto ‘seguente’. Certamente, l’idea intuitiva di continuo ha una realtà psicologica nella mente umana, ma essa non può essere invocata per risolvere un’impossibilità matematica; deve rimanere una discrepanza tra l’idea intuitiva e il linguaggio matematico scelto per descrivere in termini logici esatti le approssimazioni della nostra intuizione importanti dal punto di vista scientifico. È questa la discrepanza che i paradossi di Zenone mettono in evidenza” (R. Courant e H. Robbins, “Che cos’è la matematica”, 1941).

Un secolo e mezzo fa, Georg Cantor infierì sulla piaga con la sua teoria degli insiemi, dove gli riuscì l’impresa titanica di ordinare gli infiniti in scala. Come le vacche bavaresi sono tutte uguali al buio, così gli infiniti attuali appaiono tutti uguali agli ignoranti in teoria degli insiemi. Ci sono invece diversi gradi d’infinito e… “nessuno più ci caccerà dal Paradiso che Cantor ha creato per noi” (Hilbert). L’inventore dell’insiemistica dimostrò che gli infiniti punti geometrici di un segmento lungo un millimetro sono tanti quelli di una retta illimitata o di un’area estesa un kilometro quadrato o di un volume di un anno-luce cubico, per non dire tanti quanti quelli contenuti in tutto lo spazio illimitato: per l’esattezza Alef1, né più né meno. I numeri razionali invece, che pure sono densi, o i soli interi, o anche i dispari, o tra questi i soli primi sono di cardinalità Alef0, che è un’infinità più bassa di Alef1, mentre l’insieme delle curve del piano è di cardinalità Alef2 > Alef1 > Alef0, ecc., ecc. Nel 1924 infine, due matematici polacchi mostrarono come spaccare una palla geometrica in un numero finito di parti, assemblabili poi con sole rotazioni e traslazioni così da ottenere due palle uguali all’originale. Secondo te, Lettore, sarebbe possibile questa moltiplicazione miracolosa con palle reali di gomma?! e un lingotto d’oro contiene tanti atomi quanti un anellino di fidanzamento?

Il paradosso di Banach e Tarski (1924)

Se la contraddizione tra moti/corpi da un lato e matematica dall’altro vale in tutte le varietà (euclidee e non) della moderna geometria differenziale, forse, tanto per cominciare, le componenti ultime dello spazio reale non sono “punti”, cioè unità indivisibili ad estensione nulla. Poiché in logica un postulato è – secondo la definizione di Tommaso d’Aquino – una proposizione evidente, vera al punto che se la negassimo dovremmo rinunciare a ragionare, è dal postulato di densità che deve partire il nostro riesame critico: ammessane la validità convenzionale (“formale”) nelle “geometrie pitagoriche”, non possiamo infatti più ritenere tranquillamente che uno spazio pitagorico, con l’aggiunta di una metrica euclidea o non, sia un modello perfetto (“isomorfo”) dello spazio reale, cosicché rette e curve del primo rappresentino fedelmente le traiettorie di frecce e raggi di luce nel secondo. Che altro tipo di spazio inventare?

Ebbene, io ho trovato la prima risposta soddisfacente al problema – che i paradossi di Zenone ci buttano in faccia more parmenideo in parabole – solo nella metafisica altomedievale dei teologi islamici del Kalam (i Mutakallimun) e di un rabbino di Cordoba, al cospetto dei quali mi volgo ora con molto rispetto; e i dettagli quantitativi nei teoremi della fisica moderna.

I Mutakallimun (IX-XII sec.) capirono che per affrontare i paradossi di Zenone occorreva partire da un’analisi dei concetti di spazio e tempo. Sul tempo, era stato Aristotele (IV sec. a.C.) ad avviare la ricerca. Nel libro VIII della “Fisica”, aveva scritto che il tempo è una misura del moto, inteso come ogni tipo di trasformazione materiale. Quindi il tempo non esiste in assenza di corpi. Il Kalam fece passi ulteriori in avanti. Intanto, non esiste uno spazio separato dal tempo, ma un’unità reale dove la dimensione temporale è connessa alle tre spaziali, per cui si deve parlare di “spazio-tempo”. Poi, lo spazio-tempo non è assoluto, ma le sue estensioni sono relative all’osservatore: “Non c’è nessuna differenza tra l’estensione temporale che, rispetto ad uno di noi, distingue il prima dal poi, e l’estensione spaziale che, rispetto ad uno di noi, divide il sopra dal sotto” (Al Ghazali, “Incoerenza dei filosofi”, XI sec.). In assenza di corpi, né lo spazio, che ne indica la superficie limitante e le distanze reciproche, né il tempo che ne descrive i moti hanno senso: “Il tempo è la durata in cui un corpo è a riposo o in moto: se il corpo è privato di questi stati cessa di esistere e anche il tempo cessa di esistere. […] Corpo e tempo co-esistono” (Ibn Hazm, “Dettagliato esame critico”, XI sec.). Spazio, tempo, corpi e moto sono nel Kalam concetti correlati e le loro estensioni sono relative all’osservatore. Queste assunzioni sono oggi alla base delle relatività generale e speciale.

Ancora, secondo un’innovazione che sostituisce i numeri interi ai reali ed anticipa la meccanica quantistica, una “quantizzazione” è applicata dal Kalam alla materia dei corpi, all’energia (il “calore”) e allo spazio-tempo, ogni cosa essendo composta di un numero finito di particelle elementari. Lo spazio è suddiviso in atomi, senza i quali perderebbe la sua coerenza: lo spazio reale è una struttura aggregata di celle indivisibili ad estensione non nulla. È quanto viene oggi postulato nella geometrodinamica della relatività generale, la quale specula che su piccola scala lo spazio non sia un fluido continuo, ma una schiuma di celle la cui dimensione lineare non supera la lunghezza di Planck. Cosicché, la distanza reale che separa l’arco dal bersaglio non è la linea densa di Euclide: la freccia percorre piuttosto un numero finito di “distensioni contemporanee” (Al Ghazali), irrilevabili dai nostri sensi, ma non nulle se la loro unione deve risultare in una distanza diversa da zero! Che cosa ci dà in più oggi la ricerca fisica? Non un nuovo concetto, ma la precisione della lunghezza di Planck, il numero L = 1,62 × 10^(-33) cm. Il Kalam insegnò che un metro reale è un aggregato di distensioni contemporanee dello spazio reale; la fisica predice che in un metro fisico ci sono almeno 100/L = 6,17 decine di milioni di miliardi di miliardi di miliardi di tali celle planckiane.

Anche il tempo secondo i teologi dell’alto Medioevo ha una struttura discreta. Il primo a parlare di “atomi di tempo” era stato il vescovo Isidoro (VI-VII sec.) nel terzo libro delle sue “Etymologiae”, scritto a Siviglia sotto il regno dei Visigoti. 5 secoli dopo, nel califfato di Cordova al tempo degli Almoravidi, il rabbino Mosè Maimonide ne avrebbe elaborato l’intuizione. Per Maimonide, la successione degli istanti che produce una durata misurabile dalla clessidra evidenzia l’esistenza di una soglia temporale minima: “Il tempo è composto di atomi, e questi sono indivisibili” (“Guida dei perplessi”, 1190). Il tempo è una struttura aggregata di intervalli indivisibili, intrinseci alla realtà mondana che è mutevole, per contrasto alla distensione eterna in cui si svolge la vita di Dio. Il tempo scorre a scatti, come in un orologio digitale: tic, tic, tic…, gli istanti si succedono l’uno all’altro, sono brevi per i nostri orologi biologici, ma non nulli.

Il monumento a Maimonide davanti alla sua casa di Cordoba

Oggi il tempo è un parametro continuo in fisica, ma ciò appare necessitato dal fatto che siamo tanto ignoranti in aritmetica quanto abili in analisi matematica, piuttosto che dalla struttura del tempo a piccola scala. Usiamo la matematica che conosciamo per costruire un modello rozzo del tempo, perché non sappiamo adattare la descrizione matematica alle caratteristiche dell’oggetto che misuriamo. Tant’è vero che le leggi della fisica sono valide solo sopra il limite detto tempo di Planck e l’unificazione della fisica quantistica con la relatività generale potrebbe richiedere una quantizzazione del tempo. I metafisici medievali invece, disinteressati al metodo quantitativo che caratterizzerà la tecno-scienza, poterono avvalersi di un linguaggio più libero per le loro speculazioni.

Il tempo appare continuo, ma la continuità è un’illusione, come ai nostri giorni ci accade con un film dove vediamo succedersi senza soluzione le scene che, invece, sono registrate ad intervalli discreti successivi, di breve durata rispetto ai tempi chimici delle nostre retine. Che ci dà in più oggi la fisica? La misura T = 5,39 × 10^(-44) sec del tempo di Planck. Maimonide insegnò che un’ora è un aggregato di distensioni atomiche dell’anima, la fisica predice che il numero di tali distensioni elementari in un’ora non è inferiore a 3.600/T = 6,66 decine di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi.

I Mutakallimun assunsero anche che i corpi sono ricreati in ogni momento da Dio: creati in uno stato, tornano nel nulla e sono ricreati in un altro stato. A livello microscopico, il moto avviene per salti discreti (“tafra”), in cui gli atomi di un corpo occupanti una cella di spazio per un atomo di tempo (“ana”) sono annichilati per ricomparire un ana dopo nella cella di spazio contiguo in un nuovo stato. Queste nozioni sono le più antiche intuizioni di fisica quantistica: esse precorrono i salti quantici di Bohr, l’effetto tunnel, gli operatori di creazione e annichilazione…, le “oscillazioni” del neutrino rilevate dai due premi Nobel 2015 per la fisica! “In un certo senso credo che, come sognavano gli antichi, il puro pensiero può cogliere la realtà” (Einstein, Herbert Spencer Lecture, 1933). L’esercizio del “puro pensiero” si chiama, dopo Aristotele, metafisica.

Un sistema geometrico, continuo e liscio, dello spazio-tempo è una descrizione appropriata per un mondo astratto costituito di parti autonome non correlate, ma è insufficiente a spiegare l’evoluzione dell’universo fisico entangled, un “moto” che non è solo insieme di movimenti di corpi nello spazio-tempo, ma anche di cambiamenti interconnessi degli stati dei corpi. La quantizzazione metafisica medievale risolve i paradossi di Zenone sul movimento, ma non basta a spiegare l’infinità di forme e di metamorfosi in cui la natura si esprime, a meno d’invocare l’intervento costante di Dio. Oggi la gravitazione quantistica implementa lo spazio-tempo reale con metriche non euclidee, campi di forza e fluttuazioni di energia che gli danno a priori una struttura causale in grado di connettere (parzialmente) il qui al là e l’ora all’allora dell’evoluzione dell’universo, così eludendo l’occasionalismo teologico.

Tuttavia, che la fisica moderna postuli l’hermiticità dell’operatore di Heisenberg e l’unitarietà del propagatore di Feynman nello spazio hilbertiano degli stati fisici o che l’ontologia medievale definisca la creazione come relazione continua della creatura con Dio (che non è solo il creatore iniziale, ma anche “causa dell’azione di ogni cosa in quanto le dà la capacità di agire, la conserva, la applica nell’azione”, Tommaso, “De potentia”), in ogni caso l’eleatica contraddizione tra essere e divenire è risolta nel principio di un logos. In metafisica come in fisica.

Sarebbe bello continuare a conversare con questi teologi, all’ombra rinfrescante di un aranceto profumato dei giardini di Baghdad e di Cordoba, in un silenzio turbato soltanto dallo zampillio dell’acqua nelle fontane ottagonali intarsiate di arabeschi, e coglierne ad una ad una le infinite perle di sapienza metafisica. Nella loro originale concezione digitale, essi afferrarono in nuce la struttura della realtà fisica e precorsero la realtà virtuale. Ma non c’è più “tempo”: Shukran, Ibn Hazm e Al-Ghazali! Shalom, Maimonide!

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