L’essenza della matematica (Parte I di 2)

“Pitagorici celebrano il sorgere del sole” (Fëdor Bronnikov, 1865)

A ricordo di Georg Cantor, morto il 6 gennaio 1918, che con la sua Teoria degli insiemi creò il linguaggio unitario della matematica e fece una riflessione mai prima concepita sull’infinito, da cui è nata la matematica moderna

L’essenza della matematica (Parte I di 2)

di Giorgio Masiero

Dapprima ho imparato a contare: 1, 2, 3,… Poi è arrivato anche lo zero, non ricordo come né quando. Nel contempo tracciavo linee a zig zag e curve, quadrati e ovali… Ma che cosa c’entrassero i numeri con le figure, l’aritmetica con la geometria, per me scolaro era solo l’appartenenza ad una stessa materia detta matematica. Sì, negli esercizi di geometria facevo calcoli per trovare perimetri e aree, però i numeri io li vedevo ovunque a scuola, dalle coniugazioni dei verbi in italiano alle date in storia agli abitanti in geografia…, ai voti in pagella.

Con gli anni le cose si chiarirono appena un poco complicandosi molto: imparai nuovi oggetti ed operazioni, credetti talora di aver trovato la characteristica mathematicama poi mi disilludevo. Ai numeri naturali seguirono gli interi relativi, i razionali, i reali e i complessi. Fine dei numeri? No, sarebbero arrivati più tardi i quaternioni, gli ipercomplessi e (infinite) altre specie. All’aritmetica e alla geometria si aggiunse per prima l’algebra, col suo corteo di polinomi ed equazioni: una materia invece che 3, un professore e nessun altro legame apparente. Come characteristica considerai spesso ilrigore logico che ero tenuto a rispettarein misura crescente nei calcoli e nelle procedure…, però mi dicevo infine che la stessa razionalità avrei dovuto esercitare in ogni materia scolastica, anzi in ogni azione della vita. Potevo fare una traduzione di latino, o commentare il Cratilo di Platone, o scegliere la facoltà universitaria dopo il diploma, senz’altrettanta applicazione mentale?

Al liceo due materie mi piacquero sopra tutte, la matematica e la filosofia, i miei beniamini essendo i geni che erano eccelsi in entrambe: Pitagora, Cartesio, Pascal, Leibniz, Wittgenstein. Filosofie tante, matematica una, ancora: perché? Un giorno arrivò la geometria analitica scoperta da uno di quelli, filosofo metafisico, fisico e matematicodel XVII secolo e questa mi aprì uno spiraglio: le figure della geometria e le equazioni dell’algebra sono due rappresentazioni della stessa “Cosa”!

Prendiamo una retta della geometria euclidea: Cartesio la trasformò in un’equazione. O la più perfetta figura della geometria, il cerchio: altra equazione! Una parabola, un piano nello spazio, un cono, una sfera…? Altrettante equazioni. Naturalmente la geometria analitica funziona anche nel verso opposto: da un’equazionetrae la figura geometrica corrispondente. Come un vocabolario bilingue: inserisci “amore” e ottieni “love” (se è italiano-inglese), metti “love” e hai “amore”. Sempre della stessa cosa si parla. Ma quale Cosa in matematica?! come fa la continuità d’una forma geometrica a trasformarsi nella discretezza di un’equazione algebrica? Pazienza, lettore non matematico, questo è il punto difficile che spero di riuscire a spiegarti in due puntate…

La trasformazione di Cartesio

La scoperta cartesiana dell’unità profonda di algebra e geometria porta con sé vantaggi pratici: risolve i problemi geometrici, che richiedono intuizione, attraverso (più facili) problemi algebrici, che consistono spesso in sola automazione. Che fanno al liceo gli studenti davanti ad un problema difficilino di geometria? Lo traducono in un sistema di equazioni, risolvono queste con l’algebra e poi reinterpretano col vocabolario cartesiano inverso le soluzioni algebriche nei corrispondenti significati geometrici, ottenendo le soluzioni del problema di partenza. Per i problemi più difficili dell’aritmetica e dell’algebra però, quelli veramente tosti, avrei imparato molti anni dopo che i matematici applicano la strategia opposta: li trasformano in problemi geometrici “corrispondenti” (stavolta l’aggettivo richiede un’astrazione indescrivibile), risolvono questi more geometrico e poi interpretano le soluzioni così ottenute alla luce dei primitivi significati algebrici. Si chiama geometria algebrica (v. Fig. sotto).

Gli “accerchiamenti” opposti della geometria analitica e della geometria algebrica

Andiamo avanti, cioè torniamo indietro ai miei anni di studente. Dopo la geometria analitica, m’insegnarono un’altra teoria: l’analisi. La sua specificità sta nel saper trattare due entità altrimenti oscure e volatili, eppure fondamentali dell’universo matematico: l’infinito e l’infinitesimo. La parola infinito ha due significati. Può indicare un processo che non arriva mai alla fine: Aristotele lo chiamava infinito potenziale. Così è l’operazione di raddoppiare un segmento e poi raddoppiare il risultato, e poi raddoppiare il nuovo risultato,… Questa procedura produce ad ogni passo un segmento più lungo, suscettibile di superare ogni segmento dato. Diciamo che l’esito è un segmento infinito, dove l’infinito è potenziale (nel linguaggio aristotelico: possibile ma non realizzato), perché comunque ad ogni passo il risultato attualeè un segmento limitato. Oppure potremmo dimezzare un segmento e poi dimezzarlo un’altra volta e poi ancora… Anche questa procedura va avanti in teoria quanto si vuole. Stavolta più si avanza, più la lunghezza risultante s’avvicina a zero: è infinitesima, senza essere mai nulla. Sull’infinito potenziale e l’infinitesimo si fondano i concetti di continuità e di liscezza (tecnicamente, differenziabilità) e l’operazione di misura, che sono caratteristici dell’analisi. Altro infinito potenziale è la serie numerica

dove si alternano indefinitamente addizioni e sottrazioni dei reciproci dei numeri dispari. Un teorema dell’analisi mostra che questa somma tende a π/4: ecco un’altra manifestazione dell’unitàdella matematica e della sua efficacia risolutiva trasversale, perché un’operazione di analisi – il calcolo di una serie – partorisce il santo Graal della geometria, π. (Tra parentesi, queste procedure infinite non sono eseguibili da una macchina: un software deve contenere un numero finito di istruzioni, altrimenti la sua esecuzione andrebbe in overflow, per quanto grande sia la memoria e veloce il processore del computer. Così, a differenza della mente umana, nessuna macchina potrà mai predire il risultato π/4 della serie scritta sopra. Fine dei sogni dell’Intelligenza Artificiale Forte.)

Il secondo tipo d’infinito è una collezione di elementi superiore per quantità ad ogni numero dato. Era denominato da Aristotele infinito attuale e presunto impossibile nella realtà; oggi è chiamato insieme cantoriano e costruito in diverse “incarnazioni” ideali. L’alfabeto italiano ha 21 lettere, cosicché non è un insieme cantoriano; né lo è l’insieme dei granelli di sabbia del mare (come Archimede dimostrò al tiranno di Siracusa), né l’insieme delle particelle dell’Universo secondo la cosmologia moderna (che sarebbero all’incirca 10^⁸⁰). Invece l’insieme dei numeri naturali, che s’indica con N, è un insieme cantoriano. Si può dire che N ha un numero infinito di elementi, dove in questo caso infinito è inteso come infinito attuale, realizzato. Nella matematica esistono molti insiemi cantoriani: oltre ad N, cantoriani sono l’insieme R dei numeri reali, l’insieme C dei numeri complessi; ed anche un segmento, un quadrato, un cerchio, lo spazio, ecc. intesi come insiemi di punti, l’insieme di tutte le curve, ecc., ecc. Di fatto il numero degli insiemi cantoriani è un infinito attuale! Non solo. Nella teoria degli insiemi è contenuto uno dei più stupefacenti risultati di tutta la matematica (G. Cantor, 1864): come le vacche in Baviera non sono tutte nere, anche se tali appaiono a chi l’attraversa di notte, così gli insiemi cantoriani non sono tutti equivalenti per quantità di elementi, ma alcuni hanno “più” elementi di altri. Gli insiemi cantoriani infatti si ordinano in una scala gerarchica d’infiniti gradini, con un gradino più basso (dove si trova N in compagnia d’infiniti altri insiemi equivalenti), un secondo gradino (dove si trovano R e C con infiniti altri),… e così via all’insù!

C’è da dire, per completezza, che Cantor svolse una riflessione ulteriore sull’infinito, integrando una terza modalità che richiama il pensiero tomistico piuttosto che la secca dicotomia aristotelica tra infinito potenziale e infinito attuale: egli mostrò l’esistenza di un infinito attuale assoluto determinato non incrementabile. Questo concetto non appartiene però alla matematica, ma può predicarsi solo di una nozione di Dio appartenente alla metafisica.

Ricordate come i Romani conquistarono Masada (73 d.C.)? La fortezza giudaica si trovava sopra una rocca alta 133 metri, circondata dal deserto. Il comandante romano Lucio Flavio – dopo aver costruito un muro di cinta alla base della rocca (per mandare ai rivoltosi il messaggio che nessuno di loro ne sarebbe uscito vivo) e dopo aver risolto i problemi logistici e di approvvigionamento col più vicino porto (gli Ebrei dal canto loro avevano ammassato viveri per anni nella fortezza) – progettò un piano in 3 moduli, la costruzione dei quali fu avviata contemporaneamente per accelerare i tempi. Il primo modulo consistette nella costruzione di un terrapieno alto come la rocca, il secondo delle componenti di una torre di ferro da assemblare sopra la rocca e capace di superare in altezza le mura della fortezza, il terzo delle macchine belliche (catapulte e arieti) da disporre sopra la torre e con cui attaccare dall’alto gli asserragliati. Se la fortezza era inespugnabile dal basso e frontalmente, aveva cogitato Lucio Flavio, non erano invulnerabili dall’alto gli assediati che così si sarebbero potuti vincere… Per lui le cose andarono ancora meglio del previsto: quando avvertirono l’imminenza della sconfitta, i mille zeloti commisero suicidio collettivo, permettendo ai Romani di conquistare la fortezza senza ingaggiar battaglia.

Masada (sono visibili i resti del terrapieno romano sulla destra)

Questo è il modo preferito con cui il ricercatore matematico prova a risolvere un problema: lo divide e lo aggira, senza affrontarlo a muso duro…, sperando che quasi si risolva da solo. Un esempio di questa strategia è la procedura alla fine trovata per risolvere l’Ultimo “teorema” di Fermat. Fermat, di professione magistrato con l’hobby della matematica, pose nel 1637 una domanda aritmetica così semplice che anche un bambino di quarta elementare la capisce: c’è una terna di numeri interi diversi da zero per l’equazione

Dai tempi di Pitagora si sa che con esponente n = 2 ci sono infinite terne: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), ecc. Con esponente n > 2 non esiste nessuna terna, ipotizzò Fermat senza dimostrare la sua affermazione. Tutti i tentativi fatti per tre secoli e mezzo di dimostrare la congettura affrontando il problema di petto (cioè con l’aritmetica) fallirono e solo nel 1994 Wiles e Taylor risolsero la questione: presero il problema alla larga integrando decine di tecniche diverse, dalla geometria algebrica alla teoria di Galois, dalla teoria delle curve ellittiche all’algebra di Hecke, alla fine delle quali quello svanì come neve al sole.

Le operazioni di accerchiamento multiplo, per mezzo delle quali il problema di un’area matematica è spaccato in moduli che sono risolti chiamando in soccorso gli strumenti delle altre aree, diventarono per me sempre più frequenti all’università. I miei esercizi di studente erano ovviamente molto più semplici delle questioni affrontate dai matematici di professione, ma l’approccio era lo stesso: indiretto, con l’apparenza di complicare la questione piuttosto che di semplificarla. Risolvevo così equazioni differenziali dell’analisi con i numeri complessi dell’algebra, problemi della teoria dei gruppi con l’algebra lineare, di trigonometriacon l’analisi, di geometria con la geometria differenziale (che è il linguaggio della Relatività Generale), di geometria differenziale con l’analisi funzionale (che è il linguaggio della Teoria Quantistica dei Campi), ecc., ecc. L’unità della matematica, rivelatami dalla possibilità di risolvere un problema di un’area attraverso l’integrazione modulare di algoritmi di altre aree, dimostra – continuavo a ripetermi – l’esistenza della Cosa.

Un giorno la dea sfuggente mi apparve davanti agli occhi, cosicché sostai estasiato ad ammirarla. Tuttora mi ci fermo quando capita, seppure ella vi sia velata, come Maja. È nell’incanto della formula di Eulero (1748):

Lettore, provi anche tu la mia stessa emozione nel vedervi avviluppati insieme i 5 numeri fondamentali della matematica: 0 e 1, punto di partenza e passo dell’infinita successione N dei numeri naturali dell’aritmetica; i = √-1, l’unità immaginaria a base dell’algebra; π uguale a circa 3,14 per la geometria; e il numero di Neper

uguale a circa 2,718 e base delle operazioni di differenziazione ed integrazione dell’analisi?

Basta. Avendoti convinto, spero, dell’esistenza d’una characteristica mathematica, adesso devo venire al sodo e spiegare come arrivai a capirne l’essenza sublime, o meglio ciò che io considero tale nella mia visione del mondo, di cui la matematica è un elemento essenziale. Userò nel prossimo articolo la strategia di partire dalle 3 galassie dell’universo matematico – l’aritmetica,l’analisi e la geometria –, lasciando perdere propaggini e sovrapposizioni che si diramano da quelle:

1. L’aritmetica è il numero. Il numero afferra la struttura degli aggregati “discreti”, quei sistemi di solito finiti formati da elementi isolati, senza passaggi continui dall’uno all’altro: i cristalli, le reti, i grafi e tutte le strutture discontinue, in generale. L’aritmetica è la scienza delle strutture discrete.
2. L’analisi è invece la scienza delle strutture continue, come i movimenti, le linee, le superficie, gli spazi, le varietà di tutti i generi, i campi di forza, ecc. Qui il passaggio da un elemento all’altro varia in modo continuo, per variazioni infinitesime. L’operazione dell’analisi cui tutte le altre sono al servizio è la misura.
3. La geometria è a cavallo dei due tipi di strutture. Quando si studiano curve e superficie dello spazio o altre varietà di spazi multidimensionali, possiamo soffermarci sugli aspetti discreti (come la dimensione, la segnatura, ecc.) con le loro relazioni aritmetiche, oppure sugli aspetti continui (come le lunghezze, i volumi, le curvature, ecc.) con le relazioni metriche e gli invarianti. La geometria è la scienza della forma.

Ma allora, se la geometria è una sintesi di mondo discreto del numero con mondo continuo della misura, forse è nella geometria che i mondi apparentemente separati formano l’unità misteriosa cercata, e questa deve consistere in strutture ancora nascoste, né discrete né continue.

Certo, la matematica è anche l’arte di risolvere i problemi aggirandoli, ma la Cosa non può ridursi ad un’applicazione pratica, a mera tecnica. Piuttosto questa abilità della matematica è il dono di una sua più elevata essenza, la Cosa appunto, giacente al cuore unitario della geometria, ponte tra mondo discreto e mondo continuo. La mia “scoperta” della Cosa sarebbe intervenuta molti anni dopo la laurea, quando ad un meeting di lavoro sui sistemi di sicurezza e di crittografia incontrai le congetture di Weil.

Proseguiremo il discorso, lettore, se t’interessa, nel prossimo articolo.

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