Anoressici & obesi. Cercasi normali.

Alla ricerca della norma…

Cosa è la normalità, cosa è la moda? Domande assai comuni di questi tempi.

La matematica ha le sue risposte.

La moda in statistica è il valore più frequente, quello dove la densità di probabilità pdf (probability density function) ha un massimo. Nel seguito con “densità” di x intenderemo la funzione pdf(x).

Le mode sono l’oggetto di questo studio. Le mode possono essere una o più di una, fig. 1-2.

L’area compresa sotto la curva di qualsiasi densità di probabilità è per definizione unitaria:

∫ pdf(x) dx = 1 = Probabilità evento certo    ( integrale esteso da – ∞ a + ∞ )

Fig. 1  Densità di probabilità monomodale (un massimo)

Fig. 2  Densità di probabilità bimodale (due massimi)

Nelle figure la scala di pdf è alterata, senza pregiudizio per l’identificazione delle mode.

Se una funzione f(x) ha massimi in x1, x2… lo stesso accade per la funzione f(x) * Costante.

L’insieme di due popolazioni con densità monomodale ha una densità bimodale se i valori medi sono sufficientemente diversi, fig. 3.

Fig. 3  Effetto della separazione dei massimi.

Ci proponiamo di trovare la separazione tra i massimi di due densità monomodali oltre la quale la loro somma diventa bimodale.

Viceversa, data una densità bimodale, è lecito il sospetto di avere due popolazioni mescolate, ed è probabilmente opportuna una indagine in questo senso. Aspettate a fare il processo alle intenzioni.

La separazione critica dipende dalla forma delle due densità, che occorre specificare. Nel seguito assumeremo densità gaussiane. La gaussiana consegue naturalmente in molte situazioni fisiche e matematiche. Per esempio se sommiamo molte variabili random, ciascuna distribuita a modo suo, la loro media tende molto rapidamente ad essere distribuita gaussianamente. Il teorema del limite centrale della statistica esprime questo fatto in matematichese.

Paragone sconfortante  

In tempi lontani i grandi della terra amavano la scienza più di quanto la amino i politici moderni.

Il vituperato e ghigliottinato re Luigi XVI si teneva informato sulla la misura della lunghezza del meridiano terrestre. Il suo ministro delle finanze, Colbert, fondò la Academie Royale des sciences.

Nel 1667 l’abate Jean Picard fu incaricato di iniziare una grande operazione geodetica. Secondo il suo rapporto all’Academie “outre che par ce moyen on aurait une carte la plus exacte qui ait encore été faite, on en tirerait cet avantage de puovoir determiner la grandeur de la Terre”.

Intermezzo irriverente

Un grande della terra ordinò ai suoi sapienti di scrivere l’equazione del cavallo. Panico generale. Ma un matematico andò alla lavagna e scrisse x^2 + y^2 + z^2 = 1. Protesta: “Ma questa è l’equazione di una sfera di raggio unitario! Ma i nostri cavalli non sono sferici!” Risposta del matematico: “Colpa vostra, avete comprato cavalli anomali!”. Ora riflettete sulla gaussiana.

Quando si sa nulla di una grandezza random che si fa? La si assume gaussiana! La giustificazione? Non occorre. La gaussiana è universalmente nota come distribuzione normale. Se siete persone serie e normali userete una distribuzione normale, non vi pare? La gaussiana è popolare ed è pure matematicamente comoda da manipolare. Che volete di più? Che sia gaussiano il fenomeno?!

Comportiamoci da persone normali

Anche noi siamo persone normali (si fa per dire) e quindi proseguiamo con densità normali, cioè gaussiane. Per semplificare assumeremo che le due densità di partenza abbiano uguale deviazione standard σ (la medesima apertura della campanella) e due medie ±μ (le posizione dei massimi) simmetriche rispetto all’origine, come in fig. 3, dove σ = 1 e μ = ±1.

Due popolazioni di uguali caratteristiche, hanno densità identiche per definizione, fig. 4.

Fig. 4  Nessuna separazione dei massimi. Parametri: σ = 1; μ = 0

Le medie μ = ± 0.5 σ, separano le due campanelle, ma la loro somma rimane monomodale, fig. 5. Difficile capire che il risultato è somma di due densità diverse, con mode discoste.

Abbiamo visto che μ = ± 1 σ, provoca un buco nel mezzo della somma delle due densità, quindi una densità con due massimi fig. 3.

E’ evidente che questo accade per separazioni ancora più grandi, μ > ± 1 σ, fig. 6.

Esisterà infine un valore μ di confine tra le densità monomodali e bimodali, fig. 7.

Fig. 5  Effetto della separazione dei massimi. Parametri: σ = 1; μ = ± 0.5.

Fig. 6  Effetto della separazione dei massimi. Parametri: σ = 1; μ = ± 1.5.

L’equazione che determina massimi e minimi (Annesso 1) è:

x / μ = tanh( μ x / σ^2 ) 

Le soluzioni sono l’intersezione tra la retta, y(x) = x/μ, e la tangente iperbolica, fig. 8.

Una radice è x = 0. E’ fissa e corrisponde al massimo unico, oppure al minimo nel mezzo tra i due massimi simmetrici.

Fig. 7  Effetto della separazione dei massimi. Parametri σ = 1; μ = ± 0.707

Fig.8  Determinazione grafica delle posizione dei massimi e del minimo

Se la retta ha pendenza grande (μ piccolo) interseca la curva solo nell’origine. Se la pendenza della retta è piccola (μ grande), ci sono altre due intersezioni, che indentificano le posizioni dei due massimi, simmetrici rispetto all’origine. Il valore critico di μ è calcolato in Annesso 2.

Con ciò l’analisi matematica della questione è conclusa.

Ma che cosa stiamo studiando concretamente?

Ad un matematico non dovreste mai chiederlo. Si offenderebbe.

Ad un ingegnere dovreste sempre chiederlo. Gli farà piacere.

Prima di entrare nel merito “Anoressici & Obesi. Cercasi normali” è bene fissare alcune idee.

Poche cose semplici, purtroppo frequentemente trascurate o malintese.

Bagagli e passeggeri

Negli aerei di linea i bagagli sono pesati singolarmente, ma i passeggeri no. Negli aerei piccoli si dovrebbe pesare tutto. La disparità tra aerei grossi e piccoli deriva dal fatto che, solo per tanti passeggeri, si può moltiplicare il peso medio nella popolazione per il loro numero. Vale la pena di chiarire la questione della media, che tutti credono di aver capito dalle elementari, ma…

La media

Anche Pierino sa che la media di N voti è la loro somma totale divisa per N

Per definizione stessa, la media moltiplicata per N dà esattamente il totale:

Media = Totale / N   <– –>  Totale = Media * N

Totale = V1 + V2 + … + Vn

La media dei nostri passeggeri però può essere diversa dalla media popolazione.

E se i passeggeri fossero tutti spaventosamente grassi? Dovremmo abortire il decollo!

Se non notiamo nulla, speriamo che il nostro campione sia rappresentativo della popolazione, quindi usiamo il valore indicato dal manuale della compagnia. Ma con quale confidenza facciamo questa assunzione? La cosa diventa preoccupante perché dobbiamo fidarci dei matematici, gente strana. Pensate che uno di loro si fece morire di fame per timore di essere avvelenato! Comunque i loro rigorosi calcoli ci dicono che, in una distribuzione gaussiana:

• 84,1345 % dei casi è minore di  μ + σ
• 97,7250 % dei casi è minore di  μ + 2σ
• 99,8650 % dei casi è minore di  μ + 3σ
• 99,9968 % dei casi è minore di  μ + 4σ

La media di N persone ha deviazione standard ridotta del fattore 1 / √ N

Questo è il motivo per cui, passando da 1 a 9 a 100 passeggeri, a pari rischio, la dispersione del peso medio si riduce da 1 a 1/3 a 1/10. Con questi tre numeri: μ, σ, N, possiamo operare con un rischio noto. Per esempio con μ = 80 kg; σ = 20 kg; N = 100 avremo un rischio 0.0032 % di eccedere (80 + 4 * 20 /10) * 100 = 8800 kg

La parola statistica viene da stato. Al governatore interessa il totale, quindi la media, non la sorte del singolo. Il becchino è interessato al numero di fosse da scavare, non al nome del morto.

Ciò dimostra che il becchino è uno statista. O che gli statisti sono becchini. Decidete voi.

Anoressici & Obesi

Ci sono fenomeni che sfuggono alla percezione popolare perché sono antipatici e quindi rimossi.

E’ la sindrome del marito cornuto. Tutti in paese lo sanno, ma lui no.

L’abolizione della leva obbligatoria fu buona cosa, ma ci ha privato di un osservatorio utile: la visita medica di leva. L’abolizione del medico condotto è stato un altro errore. Monitorava bene lo stato di salute della popolazione. Infine è molto diminuito il controllo medico nelle scuole.

I guai ora devono diventare molto grossi prima che ci si accorga di loro. I vibrione del colera è piccolo, ma i danni del colera sono grossi. Ultima epidemia di colera in Europa: 1973 a Napoli.

Il numero di obesi sta aumentando in modo assai preoccupante e porterà ad un aumento di tante patologie gravi come il diabete.

Da qualche lustro soltanto ci sono bambini delle elementari non solo obesi, ma anche ipertesi.

Il numero di anoressici è molto minore, ma la malattia è grave, anche mortale, spesso recidivante.

La sensibilità umana è maggiore per le variazioni e minore per tutto ciò che rimane costante o varia lentamente nel tempo, vedi puzza, inefficenza, criminalità. E’ quindi strano che il rapido degrado fisico della popolazione giovanile sia stato ignorato, ma occorre riconoscere la forza dei meccanismi di rimozione, oltre all’efficienza dell’ipocrisia. Eppure basterebbe osservare!

Misure facili o difficili?

Le misure in genere, e l’analisi statistica in particolare, non sono precisamente popolari in Italia.

Altra cosa per niente popolare sono le serie storiche, che permetterebbero di capire la deriva.

Poniamo di raccogliere dati di: sesso, età, peso, altezza. Poi calcoliamo l’indice di massa corporea:

x = IMC = Peso (kg) / Altezza (m) ^ 2

Disponendo di un campione abbastanza vasto e non polarizzato, potremo ritenerlo rappresentativo della popolazione. La frase è tautologica, ma non è questa la sede per trattare una materia tanto complessa e delicata come la scelta ed il controllo dei campioni.

Certamente dovremo esaminare sottoinsiemi, primo tra tutti maschi e femmine.

Poi esamineremo una fascia di età, per esempio 25 ± 5 anni.

Avremo quindi una specifica densità di IMC.

Analisi facile o difficile

Avuta la densità dell’indice di massa corporea possiamo ritenerci soddisfatti? Possiamo dire quanti di questi giovani sono a posto? No. Non mi pare facile, quanto meno.

Il valore medio può essere buono, ma derivare da pochi sani, molti anoressici, altrettanti obesi. Questo effettivamente allarga la campana (aumenta la deviazione standard), ma ciò non è un indicatore adatto a impressionare il popolo. Se aspettiamo di vedere una distribuzione bimodale, allora saremo già messi molto male.

Dovremmo rilevare lo sviluppo muscolare, e non solo acriticamente il deficit di peso da una parte e l’eccesso di massa grassa dall’altra. Potremmo suddividere i giovani in osservazione in tre sottoinsiemi: a) muscolatutura insufficiente e peso insufficiente, b) normali, c) obesi.

Le tre densità dell’indice di IMC sarebbero più significative della densità complessiva che è poi ricavabile come somma pesata delle singole densità.

Il problema obesità esiste. Si stima che in Italia gli obesi siano 5,5 miloni.

Particolarmente preoccupante è il numero di adolescenti obesi o in sovrappeso:

Fig. 9  Italia. Percentuali di adolescenti in sovrappeso o obesi (sicurezzaalimentare.it)

Togliete gli adolescenti in sovrappeso o obesi, rimane un 64 %.

Forse soltanto la metà è ben sviluppato, ben muscolato. Diciamo il 32%.

Anoressici o no, ma insufficientemente muscolati è l’altra metà: 32%

Gli anoressici conclamati sono “solo” 1-2%, ma di sub clinici ne abbiamo il 10%.

Il che è una frazione impressionante dei magrolini.

SUGGERIMENTO

Più gioco da bambini, più attività fisica da adolescenti. La palestra o il jogging a trent’anni anni non sono più nell’età dello sviluppo.

CONCLUSIONE

Cercasi giovani normali

                               ANNESSO 1

                 Densità di probabilità singole e complessiva

La densità dell’insieme è la somma pesata delle due densità.

pdf(x) = A1 * pdf1(x) + A2 * pdf2(x)     dove:

A1 = N1 / (N1 + N2)     N1 = numero soggetti nell’insieme 1

A2 = N2 / (N1 + N2)     N2 = numero soggetti nell’insieme 2

∫ pdf1(x) dx = 1

∫ pdf2(x) dx = 1

Per semplicità si assumono due gaussiane con uguale deviazione standard e medie simmetriche rispetto all’origine.

pdf1(x) = C exp( – (x-μ)^2 / K )

pdf2(x) = C exp( – (x+μ)^2 / K )

Non avrebbe interesse per il seguito specificare le costanti C e K:

C = 1 / [ √(2π) σ ]

K = 2 σ^2

Se le due popolazioni hanno ugual numero di soggetti i pesi sono identici

A1 = A2 = 1/2

La distribuzione della popolazione è quindi:

pdf(x) = H { exp[ – (x-μ)^2 / K ] + exp[ – (x+μ)^2 / K ] }  dove:

H = C/2

                           ANNESSO 2

                   Calcolo della separazione critica

Basta derivare pdf(x) verso x ed uguagliare a zero. Le radici sono la posizione dei massimi e dei minimi. La costante H è irrilevante, perciò deriviamo ed uguagliamo a zero f(x):

f(x) = exp[ – (x-μ)^2 / K ] + exp[ – (x+μ)^2 / K ]

f’(x) = – [ (x-μ) / K ] exp[ – (x-μ)^2 / K ] – [ (x+μ) / K ] exp[ – (x+μ)^2 / K ] = 0

Espandendo il quadrato dei binomi negli esponenti e raccoglendo il fattore esponenziale comune:

exp[ – (x^2 +μ^2) / K ] [ (x-μ) exp(2 μ x / K) – (x+μ) exp(-2 μ x / K) ] = 0

2 x Cosh(2 μ x / K) – 2 μ Sinh(2 μ x / K) = 0

x / μ = Tanh(2 μ x / K)

Calcoliamo ora la pendenza della tangente iperbolica nell’origine:

g(x) = Tanh(2 μ x / K)

g’(x) = {1 – [ Tanh(2 μ x / K) ]^2 } 2 μ / K

g’(0) = 2 μ / K

La retta che interseca la tangente iperbolica è:

r(x) = x/ μ

r’(x) = 1/μ

Per avere tre intersezioni con la tangente iperbolica la retta deve avere

r’(0) < g’(0)

1/μ < 2 μ / K

μ > 1 / √(2 K)

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