Gli inganni delle parole

La matematica è troppo noiosa per trattarla seriamente

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I matematici affermano che un “teorema” è falso se fallisce anche in un solo caso.

Ecco per voi due falsi “teoremi”:

La matematica non è mai ambigua        (I)

La matematica non è una opinione        (II)

Sconcerta che la matematica abbia i suoi angoli oscuri: proposizioni indecidibili se siano vere o false, nell’ambito in cui sono state concepite, ma decidibili in un meta ambito superiore. Ciò può portare ad una proposizione indecidibile in ambito A, ma vera in B e falsa in C.

Prima conclusione eretica: Il “teorema” (I) è da buttare.

La matematica si occupa di un mondo inventato dai matematici. Nulla vieta di creare mondi diversi dove la somma degli angoli del triangolo è uguale ad un angolo piatto, ma anche di più, oppure di meno. Geometria di Euclide, di Lobacesvkij, di Riemann: tot capita tot sententiae.

Seconda conclusione eretica: Il “teorema” (II) è da buttare.

Abbiamo ottimi motivi per rifiutare la matematica e pure le scienze naturali: la chimica puzza ed inquina, la fisica fabbrica bombe atomiche, la matematica è asservita o inutile.

Quando abbiamo mal di pancia, pretendiamo una RM, che è una Risonanza Magnetica Nucleare castrata della N di nucleare, che ci spaventa tanto. Tolta la Parola, tolta la Paura.

La matematica è schietta e sincera  (III)

Non è con esempi in cui funziona che si dimostra il teorema! Evitiamo la fine ridicola del tacchino induttivista. Gli davano la pappa buona ogni mattina, quindi si sentiva molto amato. La vigilia del Giorno del Ringraziamento attese con fiducia la pappa. Invece gli tirarono il collo.

Usiamo il metodo matematico: assumiamo che la (III) sia vera e troviamo un controesempio.

Ne abbiamo già trovati due. Vincere è troppo facile!

1)  Che guaio questo debito!

Delusi dai matematici ci affidiamo ai ragionieri: si sa che sono infallibili. L’interesse composto è sempre più oneroso di un interesse semplice di pari importo e durata. Ad esempio, in 20 anni, un interesse del 5% fa lievitare il debito da 2 a 2.65 volte. Un bancario il conto ve lo fa al computer. Non chiedetegli la formula, forse non ve la saprà dire, ma certo si giustificherà con A) il computer è lì apposta, B) il computer è veloce e non sbaglia mai, C) perchè dovremmo perdere tempo e rischiare di sbagliare? D) noi siamo moderni ed efficienti!

Fig. 1  Crescita del debito verso tempo (anni)

       Debito iniziale 100. Interesse 5% semplice (nero) e 5% composto (rosso)

Un matematico godrà a snocciolarvi le formulette per calcolare il debito D:

D = C (1 + k t )                         (1)  a interesse costante

D = C (1 + k )^t = C exp(h t)              (2)  a interesse composto   dove:

C = capitale preso in prestito

k = interesse annuale percentuale / 100      (3)

h = log(1 + k)                          (4)

t = tempo trascorso (anni)

La crescita ad interesse composto è una crescita geometrica.

Il debito, in rapporto al credito, crescerà secondo la seguente successione:

D/C = 1;  q;  q^2;  q^3;  …  q^n;  …    (5)  con ragione:

   q = 1 + k                            (6)

La successione (5) diverge. Ha termini sempre crescenti per n = 0, 1, 2, … perché q > 1.

Al ragioniere interessa sapere quanto è il debito dopo un certo numero di anni, mentre la somma di n termini non gli interessa affatto. Il matematico invece si interessa di tutto, specialmente se non serve a niente, quindi conosce la somma Sn dei primi n termini:

Sn = [ q^(n+1) – 1 ] / (q – 1)     per q ≠ 1    (7a)

Sn = q n                     per q = 1    (7b)

2)  Uno scherzo cinese

Si narra che un imperatore cinese, ammirato dalla scienza matematica del suo massimo esperto, gli abbia chiesto che regalo desiderasse. Quello mostrò una scacchiera e rispose: un chicco di riso sul primo quadretto, due sul secondo, quattro sul terzo e così via fino all’ultimo.

Si tratta di una progressione geometrica con ragione q = 2:

Sn = 1 + 2 + 4 + 8 + … + q^63 ≈ 18.447 10^18 = 18.447  miliardi di miliardi di chicchi

Mille chicchi di riso pesano circa 34 gr; il totale pesa oltre 627 miliardi di tonnellate.

La produzione mondiale di riso è mille volte minore.

Da allora i matematici sono ritenuti infidi e perfidi.

Lascio ai volonterosi scoprire perché non esiste il premio Nobel per la matematica.

• Un figlio fa il furbo

Uno dei miei figli mancò di imparare le formule della somma delle serie aritmetica e geometrica. Per la serie aritmetica se la cavò con quello che gli avevo raccontato di Gauss ragazzetto:

Sn = (Primo + Ultimo) + (Secondo + Penultimo) + … =  (A1 + An) * n / 2      (8)

Per la serie geometrica cercò invano di arrampicarsi sui vetri.

Sn = 1 + q + q^2 + … + q^n = [ q^(n+1)  – 1 ] / (q – 1)    (9a)

La formula si dimostra facilmente, ma occorre almeno ricordarla!

Basta eseguire la divisione (9a) con la regola di Ruffini, o eseguire la moltiplicazione:

( 1 + q + q^2 + … + q^n ) * (q – 1)  =  q^(n+1) – 1      (9b)

4)  Somma della serie geometrica

I termini delle successioni geometriche precedenti sono divergenti perché q > 1.

Per q = 1 i termini sono costanti, ma la loro somma (7b) diverge ancora con n.

Per q < 1 la somma di n termini è sempre data dalla (7a). Ad esempio per q =1/2 è:

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^n = 2 [ 1 – 1 / 2^(n+1) ] = 2 – 1 / 2^n

Si vede subito che, per n sempre più grande, il secondo termine svanisce e Sn tende S = 2.

Così si passa dalla somma Sn della successione alla somma S della serie con infiniti termini:

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 1 / 2^n + … = 2

5)  Un buon bicchiere di vino

Per coloro a cui dà fastidio l’infinito attuale (gli infiniti termini) e possono concepire soltanto una approssimazione che migliora sempre ma non termina mai, prendiamo un bicchiere di vino seguito da una fila di bicchieri vuoti. Facciamo a metà tra primo e secondo bicchiere. Poi a metà tra il secondo bicchiere ed il terzo. E così via. Avremo una successione geometrica fino al termine 1/2^n seguita da un termine identico.

1  + 0  + 0  + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/2 + 0  + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/4 + 1/4 + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 0  + … = 1

Siamo partiti con un bicchiere di vino ed in totale avremo sempre esattamente un bicchiere di vino. Neppure pensando ad un “quanto” finale indivisibile cambieremo il totale. Nel mondo matematico non esiste un numero minimo indivisibile, atomico, quindi avremo ancora esattamente somma 1:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …  = 1    (10)

La serie infinita (10) vale 1, anche se il computo con infiniti termini non finirebbe mai. Il tempo necessario per il calcolo non ha niente a che vedere col valore del risultato. Possiamo contare le vacche, o le loro zampe e poi dividere per quattro. Col millepiedi ci va peggio. Nel continuo siamo in imbarazzo filosofico. Ne usciamo bevendoci un sano bicchiere di buon vino. Non fate i salutisti.

La vera salute del corpo e della mente è stare lontani dalla matematica. Cantor docet.

6)  Il tutto ed una sua parte

Galileo fu in imbarazzo scoprendo che i quadrati perfetti, pur essendo solo una parte degli interi, sono tanti quanti gli interi. Possiamo infatti numerarli associando a ciascuno un intero successivo:

1,  2,   3,    4,   5,  …

1,  4,   9,   16,  25,  …

Altro imbarazzo per Galileo fu constatare che due segmenti di lunghezza diversa contengono un ugual numero di punti. Ad ogni punto P di AB corrisponde un punto Q di CD e viceversa. Eppure

AB è una parte di CD. Per approfondire si veda: Georg Cantor. La formazione della teoria degli insiemi (Scritti 1872-1899). A cura di G. Rigamonti. Note di Ernst Zermelo. Mimesis-Volti n.76.

Come la mettiamo con La parte è minore del tutto, primo assioma di Euclide?

• Filosofi astemi

Con buon senso, rallegrato da un buon bicchiere di vino, si arriva a conclusioni sane, mentre sobri filosofi si perdono nelle nebbie. Achille non raggiunge mai la tartaruga e il moto non esiste. Ma sì, ci va bene tutto! Il mondo dei filosofi è un mondo creato da loro, a loro immagine e somiglianza, tanto quanto il mondo matematico è creato dai matematici per i matematici. Semplicemente sono mondi diversi. Il primo a sistemare le questioni con gli infiniti fu Cantor, un matematico. Vero che ne uscì pazzo, ma non più pazzo del filosofo Nietzsche, o del fisico Boltzmann. Signori, meditate!

6)  I pitagorici  

Mettiamo insieme matematica e filosofia pitagorica e vediamo che sconquasso accade quando due mondi inconciliabili si scontrano. Per Pitagora il mondo era governato da rapporti razionali, cioè rapporti tra numeri interi. In un mondo così fatto due segmenti qualsiasi A, B, dovevano essere commisurabili nel senso che M volte A avrebbe dovuto combaciare con N volte B, ad esempio:

Ma i pitagorici avevano scoperto che la diagonale D del quadrato non è commisurabile col lato L:

D / L ≈ 14/10 o meglio 141 /100 o meglio ancora 1414/1000 …

Sempre meglio, ma mai esattamente! Dove stava lo scandalo? Per prima cosa stava nella natura religiosa del loro pensiero: non crollava un assioma, ma un dogma. Inoltre crollava anche la loro ipotesi sulla natura atomica del mondo. Un segmento fatto di M punti con dimensione ε finita è lungo M ε. Similmente un altro segmento fatto di N punti sarà lungo N ε. Il rapporto tra le lunghezze di due segmenti qualsiasi è quindi M / N, un numero necessariamente razionale.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo di lati 3 e 4 è lunga 5: qui andiamo bene, ma per caso.

I rapporti geometrici sempre razionali. Falso. Basta un controesempio:  D / L = √2

Esistono cose che per i pitagorici non potrebbero esistere. E nemmeno per noi, se accettiamo una natura granulare delle cose, e confondiamo gli enti geometrici, di nostra invenzione, con enti fisici. I primi sono un parto della nostra mente e vivono in quanto creati da noi; gli altri, anche se fatti materialmente da noi, vivono in un mondo fisico che non è creato da noi. I due mondi si scontrano? Sì. E non solo in mano ai pitagorici. Solo che noi siamo più smaliziati da una parte (vedi il lavoro di Cantor) e più rozzi dall’altra: ci accontentiamo di modelli utili a far funzionare le cose. Il che aiuta a capire. Non posso capire ciò che non so costruire disse Feynmann.

7)  La parola “razionale”

Nel linguaggio comune la parola razionale è associata a pensiero ragionevole. Ragionare è sempre un mettere qualche cosa o fatto in relazione con qualche altra cosa o fatto. La radice latina “ratio” significa rapporto. Usiamo la parola “rapporto” anche per indicare la relazione tra due persone.

In matematica rapporto ha un solo significato: A / B = R significa che R volte B è uguale ad A.

Numero razionale significa numero esprimibile come rapporto di due interi. Si può dire molto male della scuola, ma bisogna ammettere che le cose le racconta, sia pure troppo slegate tra loro:

• La divisione che “non finisce” mai (elementari): 1 / 9 = 0,1111 …
• La frazione generatrice (medie): 0,1111 … = 1 / 9
• Le serie geometriche (superiori): 1/10 + 1/100 + 1/1000 + .. = (1/10) / ( 1 – 1/10) = 1 / 9

Molti adulti regrediscono per pigrizia o per naturale decadenza fisica. Si può capire.

Non è accettabile, invece, che un “logico matematico” insegni 2 / 3 = “numero irrazionale” come in “Il matematico impertinente”. Dopo altre lepidezze il Nostro ci invitò a studiare “almeno” su Wikipedia. Grati del consiglio, ci sdebitiamo suggerendogli di farsi correggere le bozze da qualche volonteroso ragazzotto, evitando situazioni imbarazzanti da cui soldi, fama, sodali, non possono proteggere ad oltranza. E qualche presa di distanza comincia a vedersi.

• Gli sviluppi in serie di potenze

Le serie geometriche sono serie di potenze con coefficienti tutti uguali. La somma è ovviamente funzione della ragione, x che deve essere minore di 1 per avere convergenza:

f(x) = C + C x + C x^2 + C x^3 + … = C / (1 – x)      (11)

Con coefficienti diversi ed opportuni si può “espandere” in serie di potenze qualsiasi funzione f(x) analitica (cioè continua con tutte le sue derivate).

Ogni sviluppo avrà un suo raggio r di convergenza, cioè varrà per |x| < r.

f(x) = Co + C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 + … + Cn x^n    (12)       dove:

Cn = fn(0) / n!

fn(x) = derivata ennesima di f(x) verso x

n! = 1 * 2 * 3 * … * n

Ad esempio l’esponenziale converge per qualsiasi valore di x:

exp(1 + x) = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + …

exp(1 –  x) = 1 – x + x^2 / 2! – x^3 / 3! + …

Per valori x abbastanza piccoli si osserva che i termini di grado superiore ad N sono trascurabili e quindi la funzione f(x) sarà approssimabile con un polinomio di grado N.

9)  La curva logistica     

La funzione (13) è una semplice parabola che si annulla per P = 0 e per P = K.

f(P) =  R P ( 1 – P / K) = R P – (R/K) P^2     (13)

E’ facile verificare che il massimo è f( K/2 ) = R K / 4.

La funzione f(P) è usata per descrivere una velocità di crescita, P’ = dP/dt, di una “popolazione” P(t) che varia nel tempo subendo l’influenza (contrastante) della sua stessa presenza, P.

Con “popolazione” si deve intendere un insieme di oggetti o soggetti simili tra loro quali persone, animali, insetti, batteri, virus, ma anche oggetti richiesti come telefoni cellulari, automobili, …

La funzione P(t) indica semplicemente il numero di tali oggetti o soggetti presenti al tempo t.

La (13) è l’espressione più semplice possibile adatta a descrivere una crescita nel tempo.

Corrisponde ad uno sviluppo in serie troncato per N = 2 di una funzione analitica f(P) qualsiasi.

Nel punto (17) daremo qualche particolare in più sui parametri.

Ci scusiamo con i superstiziosi. Il fato ha voluto che la numerazione fosse proprio questa: 13 e 17.

• Due ottimi libri divulgativi

L’ing. Roberto Vacca ha pubblicato due ottimi libri divulgativi. “Anche tu matematico” e “Anche tu fisico”. Nel primo libro spiega perchè le crescite esponenziali non esistono in natura. Sconsiglio di usare questo argomento per criticare Malthus, che cita espressamente la saturazione, evitando la trattazione matematica. In questa omissione fu un benefattore dell’umanità. Nel secondo libro R. Vacca elenca criticamente le nostre risorse energetiche, rinnovabili e non rinnovabili. Ovviamente l’Autore insegna ed illustra magistralmente anche tante altre cose.

• Integrazione di funzioni

Credo che l’integrazione più difficile in assoluto sia tra la popolazione italiana e la matematica.

L’integrazione matematica ha una definizione ostica ed è una operazione difficile da farsi secondo la definizione. Perciò si usano sistematicamente facili regole di calcolo. Il risultato ovvio è che nei casi fortunati si ottiene il risultato giusto di una operazione di cui si è capito ben poco. Eppure tutti possono capire che il flusso di carburante è una cosa, mentre la quantità di carburante bruciato è una cosa diversa. Il bello della matematica è aver inventato regole generali, concetti applicabili in campi assai diversi. Il brutto dei matematici è la poca voglia di farsi capire. Magari nascondendosi in tanti sotto l’unico falso nome di Bourbaki. Forse sarebbe bene ripartire dal calcolo numerico:

Volume nuovo = Volume vecchio + Flusso * Tempo intercorso     (14)

12) Integrazione di equazioni differenziali

Data la velocità, moltiplicandola per il tempo abbiamo lo spazio percorso. Sommando gli spazi successivi abbiamo lo spazio totale percorso, anche se le velocità sono state via via diverse. La stessa cosa potremmo fare sapendo esplicitamente la velocità, P’ = dP/dt, con cui una popolazione cresce. L’integrale nel tempo di P’(t) ci darebbe esattamente la popolazione P(t) presente in un istante t qualsiasi. Ma noi non abbiamo P’(t) in forma esplicita. Abbiamo P’ = f(P) in cui compare l’incognita P. Occorre venire a patti con l’Analisi matematica ed imparare a calcolare P(t) a partire da P’ = f(P). E’ una invenzione antica, fatta indipendentemente nel 1600 da Newton e da Leibniz. Che litigarono di brutto sulla paternità. Nel caso della logistica si trova:

P(t) = K / [ 1 + ( K/Po – 1 ) exp(-R t) ]     (15)      dove:

Po = P(0) = popolazione iniziale

• Che guaio la realtà!

Non si trova negli scritti di Hegel, ma gli è stata attribuita e forse la pronunciò:

«Wenn die Tatsachen nicht mit der Theorie übereinstimmen, um so schlimmer für die Tatsachen».

Se i fatti non concordano con la teoria, tanto peggio per i fatti.

La realtà è testimone manipolabile. Spiegazioni del passato se ne possono fare a piacere.

Ma, quando si mette alla prova la capacità predittiva di una teoria, allora: hic Rhodus, hic salta. Occorre essere onesti. Per esempio la legge [ F = m a ] ha i suoi limiti, ma anche immensi pregi.

Date due variabili qualsiasi (F; m), (F; a), (m, a), possiamo calcolare la terza grandezza, a, m, F, e possiamo verificare se il valore calcolato concorda con una misura indipendente.

Sarebbe demenziale o disonesto pretendere che [ F = m a ] predica l’accelerazione nota soltanto la massa ma non la forza. Così sarebbe scorretto negare capacità predittiva alla logistica per nostra  ignoranza dei suoi parametri. Scorretto è pure pretendere l’andamento (15) fino a tempo indefinito quando i parametri variano nel frattempo. In questo caso il risultato è complesso:

Fig. 2  Crescita della popolazione in Svezia.

In fig. 2 si vedono alternanze di varie crescite logistiche con passaggio da sviluppo esponenziale (p.e. dal 1980 al 1995) a successiva saturazione (p.e. dal 1995 al 2000).

Il passato è interpretabile, il futuro è largamente impredicibile perché, anche se le leggi sono note,  i parametri sono a priori ignoti: variano nel tempo e dipendono talvolta da arbìtri umani.

14)  Che guaio gli integralisti!

Gli integralisti sono assai pericolosi: non sono pochi anacoreti nel deserto, o matematici appartati in conventicole, tutta gente che lascia in pace il prossimo. Gli integralisti sono militanti H24 con capacità di intervento su qualsiasi argomento ed in qualsiasi condizione meteo. L’integralista è prontissimo a vedere le peggiori intenzioni nel suo avversario. Di interlocutori non se ne parla: o sodali o nemici, tertium non datur. Limitiamoci all’integralismo culturale, quello dei colti, tanto bravi a denigrare la cultura altrui, che annichiliscono pure la propria, dimenticandosi di nutrirla, convinti di sapere tutto da sempre.

15)  Modesti esercizi di integralismo applicato.

L’infinito attuale non esiste. Non per nulla Cantor morì pazzo!

La popolazione può crescere indefinitamente. Tanto sarebbe un infinito potenziale!

Malthus suggeriva matrimoni meno precoci per ridurre la natalità. Criminale!

Malthus si opponeva al sesso giovanile senza obbligo di allevare la prole. Parruccone!

In crisi di denatalità, suggerire matrimoni meno tardivi è bene? No, se viene da fonte sospetta!

Avremmo meno Dawn. Eugenetica! Mengele vade retro!

Il modello di Malthus non ha mai funzionato. Spiegazione? Non serve!

Citare l’origine della VW (Volks Wagen = macchina del popolo) equivale ad essere nazisti.

Citare Clausewitz significa essere guerrafondai. Forse studiandolo lo saremmo di meno…

• Modi duali

Si possono avere idee opposte a pari merito di stupidità, come voler dirimere ogni questione

• sempre e soltanto a parole
• sempre e soltanto “scientificamente”

Al becchino, tuttavia, non interessano i nomi dei morti, ma solo quante fosse deve scavare.

Prima di disprezzare il cinismo del becchino si dovrebbe fare il suo lavoro nell’anno sabbatico.

• Non solo parole

Quanta gente c’è al mondo? Mai né troppa né troppo poca. Quella giusta per stare come sta.

Pare un discorso da Pangloss. E’ invece una constatazione ineludibile come osservare che i bilanci stesi dai ragionieri terminano sempre con due cifre identiche, che ci sia un disavanzo a sinistra od un avanzo a destra. Non è forse per questo che si chiama bilancio?

Con poche parole riassumiamo la dinamica in atto, il modo di studiarla, i suoi limiti, i nostri limiti.

La velocità di crescita P’ è funzione della voglia di far figli e di quanti P la hanno.

C’è una intrinseca controreazione di P su P’.

Abbiamo una velocità di crescita P’ = f(P) prima crescente e poi decrescente verso P.

Che f(P) sia la nota logistica o chissà che altro, non altera il filo del discorso.

La logistica è la più semplice espansione in serie di potenze adatta al caso: P’ = A + B P + C P^2.

Per sua natura A = 0, chi non c’è non si riproduce, e C < 0, reazione negativa di P su P’.

La legge f(P) ha parametri che cambiano nel tempo: cambia la tecnologia, cambiano i costumi.

In ogni istante, in un modo o nell’altro, avremo sempre equilibio dinamico:  dP – f(P) dt = 0.

Possiamo cambiare qualche parametro della legge f(P), ma non la legge fisica, quale che sia.

Conosciamo f(P) solo grossolanamente, ma nulla autorizza ad ignorarne l’esistenza.

Sognare una f(P) mai vista empiricamente è un azzardo irragionevole.

I modelli messi in mano a gente pericolosa sono pericolosi. Lapalisse conferma.

E’ pericoloso credere che le cose comunque si aggiustino sempre in modo incruento.

L’equilibrio dinamico c’è sempre, in ogni istante:  P(t + dt) – P(t) – f(P) dt = 0.

Tutto si riaggiusta, istante per istante. Ma a quale costo?

I poeti poetano, i filosofi filosofano, ma il trattore lo deve inventare il vile meccanico.

Speriamo che arrivi sempre in tempo. Poi apostrofiamolo: nel mezzo vile meccanico!

• Conclusione

I matematici sono antipatici ma sostanzialmente innocui: bambocci che giocano con gli integrali. Forniscono ai fisici formule per la teoria del tutto e rimasugli analitici agli economisti. Questi sì che sono pericolosi. I modelli sono pericolosi? Sì, come un sasso in mano ad un cretino sul cavalcavia. No, se devo progettare qualche cosa di nuovo. Che altro mai potrei usare?

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