Modelli di crescita

Riflessioni matematiche sullo sviluppo della popolazione umana

Scommettitori e cassandre

Premetto queste note ad una riflessione sul tema tuttora controverso dello sviluppo umano.

La diatriba nasce in tempi lontani:

• Condorcet: Ottimista? Illuso ad oltranza?

    Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain.

    Capitolo X: Des progrés futures de l’esprit humain.

• Malthus: Pessimista? Fautore dell’eugenetica?

    An Essay on the Principle of Population.

• Club di Roma: Fautori di un Governo Mondiale?

    I limiti dello sviluppo.

Il sogno della neutralità della Scienza è infranto da tempo.

Pare tuttavia possibile rimanere nell’ambito della correttezza rispettando i giusti confini:

• Evitando calcoli errati e semplificazioni illecite
• Evitando di applicare in modo errato strumenti giusti
• Evitando errori di logica nelle assunzioni
• Evitando interpretazioni errate di calcoli corretti
• Specificando chiaramente le ipotesi di partenza
• Permettendo a chiunque lo voglia di controllare i calcoli

Per chi ritenesse scontati i dettami precedenti potremmo fornire esempi in cui sono stati violati.

La cosa più sorprendente è la banalità di molti errori. Chi li fa poi protesta: Vuoi che proprio io faccia errori del genere? Altri aggredisce: Studia Wikipedia! Detto da chi affermò la irrazionalità del rapporto tra due numeri interi è involontaria comicità. In una dispensa universitaria trovai errata l’equivalenza tra kg e kWh calcolati in base a E = m c². L’autore disse “mi spiegherò meglio”, ma non ammise lo svarione. Mi manca la santa pazienza, ma non il triste materiale.

Ad un ego ipertrofico aggiungiamo una appartenenza ideologica ed avremo una mistura esplosiva.

Nulla può ledere l’onestà intellettuale quanto pensare di avere la verità in tasca, per cui non si prende in considerazione alcun punto di vista diverso. Atteggiamento con due effetti nefasti: impedisce di correggere eventuali errori e preclude di consolidare risultati giusti.

Ciò che segue è un esempio di deduzioni di conseguenze necessarie a partire da assunzioni ben specificate. “Se A allora B” è solo questione di logica e di matematica, le risse sono fuori di luogo.

La discussione sulle assunzioni è lecita, anzi doverosa. La conclusione può essere controversa.

Se le conclusioni logicamente derivate sono assurde, l’ipotesi di partenza dovrà essere rigettata.

I matematici hanno inventato apposta le “dimostrazioni per assurdo” che funzionano benissimo.

• La curva logistica

Un ambiente finito non può contenere una infinità di corpi.

Una crescita esponenziale può approssimare uno sviluppo effettivo solo nel suo tratto iniziale.

Per una introduzione semplice ma corretta si veda Anche tu Matematico di Roberto Vacca.

La curva logistica (fig.1, curva nera) inizia con una con crescita esponenziale, poi rallenta in un tratto circa lineare attorno al flesso, infine si adagia sull’asintoto orizzontale.

Fig. 1  Popolazione P (in nero) e velocità di crescita P’ (in verde) verso tempo t.

       [ Equazioni 1 e 3. Parametri Ro = 1; K = 10; r = 0.5 ]

• La velocità di crescita

La velocità di crescita P’ (fig.1, curva verde) inizia esponenzialmente, poi raggiunge un massimo, infine decresce fino ad annullarsi. Il modello matematico (equazione di Verhulst) è:

P’(t) = r P (1 – P/K)         (1)

Se la popolazione iniziale è nulla, rimarrà nulla. Non era necessaria l’Analisi per capirlo!

Se esiste una piccola popolazione (0 < P << K), essa inizierà a crescere esponenzialmente.

Se P è trascurabile rispetto a K, possiamo infatti approssimare la (1) con:

P’(t) = r P                 (2)

Si vede immediatamente che la soluzione della (2) è una esponenziale:

P(t) = Po exp(r t)           (3)  infatti derivando:

P’(t) = r Po exp(r t) = r P(t)

La popolazione, partendo da valori inferiori, non supererà mai il limite asintotico K perché la sua velocità di crescita P’ si annulla per P = K, eq. 1.

Se il limite K1 fosse stato in passato superiore al valore ora presente, K2, la popolazione potrebbe avere un valore iniziale Po > K2, ma P nel tempo tenderebbe a ridursi al nuovo limite K2.

Fig. 2   Velocità di crescita P’= dP/dt verso popolazione P. Parametri K = 10; r = 0.5

3)  Da velocità di crescita a popolazione

La popolazione P si trova risolvendo l’equazione differenziale (1) che definisce la velocità dP/dt.

L’operazione è usualmente chiamata integrazione per motivi che appaiono chiari eseguendola.

Per l’equazione differenziale semplificata (2) si ha:

P’(t) = dP/dt = r P       separiamo le variabili P, t

dP / P = r dt            integriamo i due membri rispettivamente verso P, t

log(P/Po) = r t          Po è la costante di integrazione. Invertiamo:

P = Po exp( r t )

Dopo un certo tempo, quando P diventa significativo rispetto al limite K, la velocità P’ decresce (1) perché le risorse non sono più virtualmente infinite (in realtà soltanto esuberanti) ma da spartire:

P’(t) = dP/dt = r P (1 – P/K)     separiamo le variabili P, t

dP / [ P (1 – P/K) ] = r dt       integriamo i due membri rispettivamente verso P, t

∫ dP / [ P (1 – P/K) ] = r t       posto x = P/K;  xo = Po/K

r t = ∫ dx / [ x (1 – x) ] = ∫ [ 1/x + 1/(1 – x) ] dx = | ln(x) – ln(1-x) |_xo^x

r t = ln(x/xo) -ln[ (1-x) /(1-xo) ] = ln [ (x/xo) (1-xo)/(1-x) ]     invertendo:

exp(r t) = (x/xo) (1-xo) /(1-x)                             risolvendo in x:

x = 1 / [ 1 + (1 -1/xo) exp(-r t) ]                           e quindi:

P(t) = K / [ 1 + ( K/Po – 1 ) exp(-r t) ]     (3)               con valore iniziale e finale:

P(0) = Po

P(∞) = K

4)  Pionieri alla frontiera

Una popolazione P occupi un’area circolare di raggio R e sia proporzionale all’aerea stessa.

Lo spazio colonizzabile attorno è indefinito nel senso che nessuno è ancora giunto al termine.

La spinta all’espansione del confine sia proporzionale al numero di pionieri, che stanno tutti sulla frontiera, quindi è proporzionale alla circonferenza (4). La popolazione poi riempia lo spazio conquistato e quindi sia proporzionale all’area.

R’ = dR/dt = 2 π R q    (4)      separando le variabili:

dR/R = 2 π q dt                integrando:

ln(R/Ro) = 2 π q t              invertendo:

R(t) = Ro exp( t / τ )            dove:

τ = 1 / (2 π q)                  da cui la popolazione:

P(t) = π R(t)² = Po exp( 2 t / τ )   dove:  Po = π Ro²

Come era da aspettarsi la crescita è esponenziale dato il legame lineare tra R’ ed R.

E’ ovvio che P(t) ecceda qualsiasi valore M fissato a piacere, basta lasciar fare per un tempo t > T  opportunamente determinabile in funzione di M. Questa è proprio la definizione di limite infinito per t tendente ad infinito:  lim P(t) = ∞

                       t → ∞

Ma possono esistere popolazioni infinite in un mondo finito? Certamente no. Allora la matematica è sbagliata? Nemmeno. Il modello è usabile, con cautela, finché è lecita l’approssimazione fatta. La capsula di Petri in fig. 4 mostra che ormai c’è interferenza sia fra le diverse colonie, sia con il confine invalicabile. A quel punto il modello esponenziale cade ovviamente in difetto.

Fig. 3 Popolazione P (curva nera) e raggio R (curva rossa) verso tempo. Parametro τ = 8.

     Parametro Ro irrilevante, figura normalizzata. Valore iniziale P(0) / Po = 1

Fig. 4  Sviluppo in una capsula di Petri.

5)  Tutti pionieri

La spinta all’espansione sia ora proporzionale all’intera popolazione e all’area occupata (5):

R’ = dR/dt = π R² q    (5)               separando le variabili:

dR/R² = π q dt                         integrando:

π q t = ∫ dr/R² = | -1/R |_Ro^R = 1/Ro – 1/R      risolvendo in R:

R(t) = Ro / [ 1 – t / τ]   (6)               dove: τ = 1 / (π q Ro)  e poi al solito:

P = π R²                  

La crescita (6), quando tutti colonizzano nuovi spazi (5), è più veloce della crescita quando i pionieri sono soltanto alla frontiera. Non è facile crescere più che esponenzialmente ma la curva P(t) ci riesce col suo asintoto verticale. La cosa merita una ulteriore discussione.

Fig.5  Popolazione P (curva nera) e raggio R (curva rossa) verso tempo. τ = 16

      Parametro Ro irrilevante, figura normalizzata. Valore iniziale P(0) / Po = 1

6)  Crescita realistica?

Una crescita continua non è mai realistica. Una descrizione più realistica è la curva logistica.

In realtà un sistema può anche facilmente oscillare. Accade quando sullo slancio, per inerzia, si supera il valore massimo sostenibile con continuità e poi si regredisce. Cause possibili sono:

1. A) Il ritardo tra la generazione di nuovi esseri e le loro successive maggiore necessità.
2. B) Una resa esagerata del suolo seguita da un crollo per impoverimento del suolo stesso.
3. C) I condizionamenti culturali con effetti imprevisti a lungo termine.

I ritardi sono note cause tipiche di instabilità, specialmente se associati al sovracomando (reazioni esagerate). Tutto ciò provoca oscillazioni. Cfr. Un manuale qualsiasi di Teoria della Regolazione.

Qui il problema è diverso: prescinde dal limite all’espansione, che è stato rimosso. Non sconcerta la ovvia crescita all’infinito, ma la divergenza in un tempo finito. Il modello implica una costante di tempo τ che però non ha nulla a che vedere col tempo necessario perché i nuovi nati raggiungano l’età riproduttiva. Proviamo a passare dal continuo al discreto:

R(t+dt) = R(t) + dR  = R + π R² q  dt      (6a)      dt  infinitesimo

R(t+Dt) = R(t) + DR = R + π R² q  Dt      (6b)      Dt  finito

Ora il passo Dt non è più una quantità piccola, ma un parametro fisico.

Possiamo calcolare cosa accade con vari Dt, fig. 6.

 Fig. 6  Raggio della zona abitata verso tempo. Parametro Dt = 0.01; 0.1; 1

        Parametro Ro irrilevante, figura normalizzata. Valore iniziale R(0) / Ro = 1

Per Dt = 0.01 il calcolo numerico R(t; 0.01), fig. 5, curva blu, è praticamente coincidente col calcolo analitico R(t), curva nera sottostante. Con passo Dt = 0.1 (curva gialla) si nota un piccolo spostamento verso destra. Con passo Dt = 1 lo scosatamento (ritardo) è circa 3 unità.

Il raggio R(i Dt, Dt) continua a crescere ed ha ancora un asintoto verticale.

In conclusione: occorre sempre considerare qualche vincolo, per esempio la controreazione della popolazione già presente, altrimenti non solo si arriva a popolazioni infinite, ma addirittura ci si può arrivare in tempo finito. Il che pare proprio privo di senso.

7)  Prede e predatori

Nella classica equazione logistica (1) compare in chiaro la competizione interna: P reagisce su P’.

Il sistema è intrinsecamente stabile. Nella competizione tra prede e predatori invece l’instabilità è intrinseca al classico modello di Lotka-Volterra:

x’ = dx/dt = (A – B y) x      (7a)      x = preda

y’ = dy/dt = (C x – D) y      (7b)      y = predatori

Nella (7a), x è fattore di sviluppo (più x ci sono e più si riproducono) mentre y è l’antagonista. Al limite per y = A / B la velocità di sviluppo di x si azzera. Nella (7b), y è il fattore di sviluppo (più y ci sono e più si riproducono). Ma anche il cibo x è fattore di sviluppo. Pochi x è poco cibo per y. Se x scende al valore D/C lo sviluppo di y si azzera. In natura si sono osservati cicli x(t) e y(t) sfasati tra loro di 90°. Le figure seguenti mostrano ciò che accade.

x(t + Dt) = x(t) + (A – B y) x Dt    (8a)

y(t + Dt) = y(t) + (C x – D) y Dt    (8b)

Fig. 7.  Ciclo preda (rossa) predatori (blu) verso tempo. Parametri A=B=C=D=1. x(0)=2; y(0)= 1.

Fig. 8  Predatori verso prede. Parametri come sopra.

8)  Vito Volterra          

Volterra proveniva da una famiglia ebrea modesta e rimase orfano di padre in tenera età.

Dimostrò subito grandi doti matematiche. Giovanissimo ebbe una cattedra di Fisica Matematica.

Nel 1931 solo 12 professori universitari rifiutarono il giuramento di fedeltà al Fascismo. Volterra  decadde anche dall’Accademia dei Lincei. Fu nominato membro della Pontificia Accademia delle Scienze che, unica, gli tributò una commemorazione funebre ufficiale. Le serie di Volterra sono in grado di esprimere la più generale relazione funzionale che si possa concepire. L. Mojoli: Analysis of angle modulated transmission systems and identification of their Volterra Series.Alta Frequenza, vol. XLI Aprile 1972, pag. 252-262. L. Mojoli: Analisi per Adulti. pag. 392, 393, 567.

9)  Dannata matematica

Una cara amica mi ha scritto: “Segni, lettere, operazioni mi diventavano nemici, mi assalivano.”

Per molti è così. Per troppi direi, appellandomi al Tullio de Mauro in La cultura degli Italiani.

Con poco si può fare molto, ma con niente non si fa niente. Hegel, Filosofia della natura:

“Il cerchio è completamente determinato dal raggio. E’ una unità che si aggiunge a se stessa ed è qui tutta la sua determinatezza. Ma nel movimento libero, dove le determinazioni del tempo e dello spazio si differenziano, e dove si stabilisce fra questi un rapporto qualitativo, bisogna che questo stesso rapporto si introduca nello spazio come una differenza che vi produca due determinazioni. Per conseguenza, la forma essenziale della rivoluzione dei pianeti è l’ellisse.”

10)  Prime conclusioni 

In un mondo finito, un limite c’è sempre, noto o ignoto che sia. Possiamo andarci a sbattere contro, oppure possiamo adagiarci asintoticamente su di esso. Non è neppure detto che esso sia un valore fisso e invalicabile. Questo è specialmente vero quando si tratti di una cosa che dipende dall’uomo, come la produzione del cibo. E’ del tutto naturale pensare che, come è avvenuto in passato, un limite subisca aumenti, anche improvvisi, in corrispondenza di innovazioni significative, fig. 8.

Pig. 8  Esempi di limiti variabili per tre popolazioni diverse (nera, rossa, blu).

Fig. 9  Esempi di sviluppo di popolazioni. Limiti come in fig. 8, colori corrispondenti.

       Popolazione iniziale Po = 1.

Al variare del limite presente, varia l’andamento della popolazione, fig. 9.

Si può certamente sperare che la progressione K1, K2, K3 … sia sempre crescente, ma non è detto. Non è detto neppure che i lampi di genio arrivino in tempo ad evitare grossi guai. Perciò è lecito essere sospettosi su chi scommette sulla pelle altrui. Ma è lecito essere sospettosi anche verso le cassandre patentate che incutono paura per acquistare potere.

In seguito ci occuperemo di Condorcet, Malthus, e dei Limiti dello sviluppo del Club di Roma.

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