Richard Feynman
La rinormalizzazione è una tecnica matematica usata in ElettroDinamica Qantistica (QED).
L’artificio fu criticato da Feynman e da Dirac. Odifreddi nel Giro del Mondo in 80 pensieri sostiene che con “un paio di conti” si trova 1+1+1+… = -1/2. Vero o falso?
L’Autore critica Leavitt per il Matematico Indiano (Ramanujan) con queste parole:
Odifreddi seguita:
Il testo divulgativo è denso di questioni difficili, infiniti di Cantor compresi:
Da Cantor in poi purtroppo il discorso deraglia:
Partiamo da qui. Le frasi di Odifreddi saranno evidenziate in grassetto corsivo e commentate.
I lettori che sanno tutto sulle serie e sulla trasformata Zeta di Riemann potranno saltare dal punto §4 al punto §9. Gli allegati citati sono scaricabili come detto nella presentazione.
1 Asserzioni fuorvianti
Se si parte da 1 e si continua a sommare 1 si può pensare che il risultato finale sia infinito
No. Si deve pensare. Il risultato è infinito, per definizione di limite. Oppure si parla di altro.
S(n) = a1 + a2 + … + an = 1 + 1 + … 1 = n S = lim S(n) = ∞
n→∞
Invece con un paio di conti ci si accorge che il risultato è -1/2.
No. Non sono un paio di conti. Sono operazioni ben diverse dalla somma elementare (i) e dalla somma di una serie (ii), che è il limite (se esiste) delle somme parziali.
1 + 1 + 1 + 1 = 4 (i)
1 + 1/2 + 1/4 + … = 2 (ii)
1 + 1 + 1 + 1 + … = -1 / 2 (iii)
1 + 2 + 3 + 4 + … = -1 / 12 (iv)
(C) Ma se, invece di considerare le somme parziali, si considera ad ogni passo la loro media, con un paio di conti ci si accorge che il risultato è … “meno un mezzo”.
No. La (iii) non converge a -1/2. Questo valore è associato tramite tutt’altre considerazioni.
La media delle somme parziali definisce la somma di Cesaro che in (iii) diverge a +∞.
Bastano due conti per capire l’errore (C), ma non bastano per trovare il risultato (iii).
La “disinvoltura” nel trattare le serie divergenti non è condivisibile:
There is no mechanism in real numbers by which addition of positive numbers can roll over into negative. It doesn’t matter that infinity is involved: you can’t following a monotonically increasing trend, and wind up with something smaller than your starting point.
Everyone can make mistakes, even mathematicians and they often do.
But in the nature of every mathematician should be integrity.
D) Accorgendosi che a volte l’infinito non è il risultato definitivo di un calcolo, ma solo il
sintomo del fatto che non lo si sa ancora portare temporaneamente fino in fondo.
Fuorviante. Bastano “un paio di conti” per arrivare fino in fondo? Allora li mostri! Invece niente. Perché? Perchè non è vero. Perché l’operazione citata, che poi è la somma di Cesaro, è semplice, ma porta a + ∞ che non è precisamente uguale a -1/2.
2 Precisiamo i confini del discorso
Il problema nasce in ambito fisico, ma la discussione qui sarà matematica e limitata agli aspetti più semplici. In particolare non avremo bisogno dei Gruppi di Rinormalizzazione.
Iniziamo ad assumere che:
i) alcune grandezze fisiche finite appaiano con espressioni matematiche divergenti
ii) gli infiniti da rimuovere siano espressi da queste serie divergenti
iii) la serie usata come esempio sia proprio S = 1+1+1+…
iv) il valore numerico della “somma” (-1/2) abbia un senso matematico
v) il risultato numerico (-1/2) abbia un senso fisico
Fig. 2 Conflitto tra misura e valutazione divergente. Coerenza del valore rinormalizzato.
NOTA
Faremo solo un cenno ai fenomeni fisici ed alle loro descrizioni matematiche divergenti, All. 1.
Per le procedure di rimozione delle divergenze consigliamo la lettura di:
“A hint of renormalization” di Bertrand Delamotte, brevemente riassunto in All. 2.
La serie (iii) è citata come correlata a problemi fisici in riferimenti divulgativi quali All.6:
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF
I riferimenti, in genere, non specificano alcun esempio di problema fisico che porti alla (iii).
Per scoprire l’arcano occorre rifarsi a testi specialistici come:
Divergent Perturbation Series, I. M. Suslov, Kapitza Instute for Physical Problems, Moscow.
Dare per scontato cose sconvolgenti come (iii) (iv) è un vezzo degli addetti ai lavori. Il divulgatore però dovrebbe astenersi. Divertente la seguente citazione di Emilio Elizalde:
Il problema è serio e complicato, come dichiara Suslov nel suo articolo del 2005.
3 Critiche di Feynman e Dirac
(1985) Feynmann
The shell game that we play … is technically called ‘renormalization’. But no matter how clever the word, it is still what I would call a dippy process! Having to resort to such hocus-pocus has prevented us from proving that the theory of quantum electrodynamics is mathematically self-consistent. It’s surprising that the theory still hasn’t been proved self-consistent one way or the other by now; I suspect that renormalization is not mathematically legitimate.
(1975) Dirac
Most physicists are very satisfied with the situation. They say: ‘Quantum electrodynamics is a good theory and we do not have to worry about it any more.’ I must say that I am very dissatisfied with the situation, because this so-called ‘good theory’ does involve neglecting infinities which appear in its equations, neglecting them in an arbitrary way. This is just not sensible mathematics. Sensible mathematics involves neglecting a quantity when it is small, not neglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!
4 Natura delle varie somme
Il segno “+” in tabella ha significati diversi perché i contesti sono diversi. Nella somma di addendi finiti ed in numero finito (i) il segno “+” ha il significato elementare. Sommare infiniti addendi implica invece un limite, che può esistere o non esistere e, se esiste, può essere finito o infinito.
La somma della serie geometrica (ii) è facile da spiegare. Per prima cosa infiniti addendi positivi danno somme crescenti che possono divergere o rimanere finite. Per esempio 1+1 = 2; se spezzo la seconda unità in due parti uguali ho 1+1/2+1/2 = 2. Spezzo l’ultimo termine: 1+1/2+1/4+1/4 = 2. Continuo a spezzare in parti uguali l’ultimo termine: 1+1/2+1/4+1/8+… = 2. Sempre 2 fa.
In (iii) e (iv) la situazione è diversa. Il limite esiste ma è infinito:
Per n→∞ (iii) S(n) = n → ∞ (iv) S(n) = n (n+1) / 2 → ∞
I valori associati alle (iii) e (iv) derivano da una continuazione analitica, All. 3.
Servirà inoltre la funzione Zeta di Riemann:
ζ(s) = 1-S + 2-S + … + n-S + … (1) che nell’origine (s = 0) degenera in.:
ζ(0) = 1 + 1 + 1 + … (2)
La giustificazione della (iii) è che sulla continuazione analitica di ζ(s) si ha ζ(0) = -1/2. .
Le cose non sono proprio tanto semplici, perciò facciamo un passo indietro.
5 La serie di Grandi
Cominciamo a prendere confidenza con la serie di Grandi (3), che è a segni alterni. Diverge, ma in modo meno aggressivo della (iii). A destra dello “=” in (3) dovremmo mettere “non esiste” perché le somme parziali oscillano tra 0 ed 1. La media delle somme parziali invece tende a 1/2.
i = 1; 2; 3; 4; 5; 6; … Indice
S = 1 -1 + 1 – 1 + … (3) Serie di Grandi
S(i) = 1; 0; 1; 0; 1; 0: … Somme parziali
CS(i) = 1; 1; 2; 2; 3; 3; … Cumulo delle somme parziali
MS(i) = 1; 1/2; 2/3; 1/2; 3/5; 1/2; … Media della medie parziali: MS(i) = CS(i) / i
MS(∞) = 1/2 Limite delle medie parziali. Da ciò la scrittura:
S = 1 -1 + 1 – 1 + … = 1/2 (4) Somma di Cesaro della serie di Grandi
La somma di Cesaro è il limite (se esiste) della media delle somme parziali
6 Ripassiamo le serie
Partiamo con un semplice esempio:
1 / 1.1 = 10 / 11 = 0.90909… ( numero razionale = rapporto di interi )
Qui il risultato è un numero periodico con periodo 90 e frazione generatrice 90 / 99 = 10 / 11.
Ora consideriamo il noto sviluppo in serie di potenze:
1 / (1 + x) = 1 – x + x2 – x3 + … (5)
Posto x = 0,1 nella serie (3) si arriva ovviamente al medesimo risultato:
1/(1+0,1) = (1-0,1)+(0,01-0,001)+(0,0001-0,00001) + …. = 0,9+0,009+0,00009+ … = 0,90909…
La serie non presenta alcun problema per |x| < 1, dove è convergente.
Se la (5) fosse valida anche per x = 1, il che non è, avremmo la (6) :
1/2 = 1 – 1 + 1 – 1 + … (6)
Questa dimostrazione della uguaglianza di Grandi non è rigorosa.
La stessa “somma” è “ricavabile” anche in quest’altro modo, pure non rigoroso:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 – ( 1 – 1 + 1 -1 + … ) = 1 – S (7)
2 S = 1 quindi: S = 1 / 2
Il risultato S = 1/2 è più interessante di altri, diversi, ottenuti con associazioni diverse quali:
S’ = 1 – 1 + 1 – 1 + … = (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + …. = 0 (a)
S” = 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 + (-1+1) + (-1+1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1 (b)
Per la proprietà transitiva delle uguaglianze S’ = [1+1+1+…] = S”. Allora 0 = 1? Per fortuna no!
L’errore sta nel credere che l’associazione degli infiniti addendi non influisca sul risultato.
La (a) è identica alla (b) soltanto prima delle due associazioni diverse, ma non dopo.
Il secondo “=” in (a) definisce come operare e quindi che risultato S’ si otterrà ( ≠ S” ).
Il secondo “=” in (b) definisce come operare e quindi che risultato S” si otterrà ( ≠ S’ ).
7 Serie dei numeri naturali a segni alterni
E’ bene studiare prima la serie dei numeri naturali a segni alterni, perché diverge in modo meno aggressivo della serie dei numeri naturali. Le sue somme parziali divergono oscillando (9).
Il limite delle somme parziali S(i), che per definizione é la “somma” della serie, non esiste:
S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. = 1/4 (8)
S(i) = 1; -1; +2; -2; +3; -3; … (9)
MS(i) = 1; 0; 2/3; 0; 3/5; 0; …
La media delle somme parziali MS(i) oscilla anche essa tra 0 ed un valore che tende a 1/2, quindi non esiste neppure la somma di Cesaro.
Ammesso che S sia la “somma” della serie in qualche altro senso, allora 4 S sarebbe:
4 S = + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ….
+ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ….
+ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ….
+ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ….
Con associazioni opportune tutti i termini a destra, meno il primo, si elidono, All. 4, da cui:
4 S = 1 + 0 + 0 + 0 + … Quindi S =1/4
Si risparmia fatica sfruttando il risultato di Grandi:
2 S = + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. | Associazione arbitraria
+ 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. = | dei termini delle due serie
= 1 – 1 + 1 -1 + 1 -1 + … =
= 1 – (1 – 1 +1 -1 + … )
= 1 – ( 1/2 ) = 1/2 –> S = 1/4
Associando variamente i termini di una serie divergente si può ottenere tutto quello che si vuole.
Questa non è una dimostrazione rigorosa.
8 La serie di Eulero
Sempre con due conti troviamo la “somma” dei numeri naturali.
Al solito: questa dimostrazione non è rigorosa.
S = 1 + 2 + 3 + 4 +… = ? Eulero
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1/2 Grandi §5S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … = 1/4 Naturali a segno alterno §7S- S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … | Associazione arbitraria – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 + … | delle due serie = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + … = | Rimozione degli zeri = 4 (1 + 2 + 3 + …) = 4 S – S2 = 3 S –> S = -1/12
Anche l’inserzione o la rimozione di zeri in una serie è operazione arbitraria perché altera la posizione dei termini e quindi la loro associazione. Con le serie divergenti non si scherza.
9 La funzione Zeta
Consideriamo le funzioni analitiche di variabile complessa s, espresse dalle serie di potenze (10). Questa serie converge se s ha parte reale maggiore di 1:
ζ(s) = 1 + 2-S + 3-S + 4-S + … (10)
Sul prolungamento analitico di ζ(s) si vede in vari modi che:
ζ(0) = -1/2 (11) All. 5-8
Ma, per s = 0, l’espressione in serie di ζ(s) degenera in:
ζ(0) = 1 + 1+ 1 + …
Mettendo assieme le cose, cioè associando il valore ζ(0) alla serie degenere abbiamo:
-1/2 = 1 + 1 + 1 + … (11)
NOTA: L’affermazione che 1+1+1+… = -1/2 derivi dalla media delle somme parziali è falsa.
Con Cesaro la serie (iii) diverge a +∞. Inoltre, anche se convergesse, il che non è, tenderebbe ad un valore positivo! Il che ci riconcilia col buon senso.
10 Il miracolo taroccato
Due conti possono dimostrare soltanto questo:
Dati di fatto Commenti
Le somme parziali S(i) = i La serie diverge
hanno media MS(i) = (i + 1)/2 La serie diverge anche con Cesaro
sono interpolate dalla retta SINT(x) = x – 1/2 Smooting: eliminiamo gli spigoli!
L’intercetta in x = 0 è SINT(0) = – 1/2 Un modo per trovare -1/2 lo troviamo!
Chiamare tutto questo “dimostrazione” della (12) è abuso di parola.
-1/2 = 1 + 1 + 1 + … (12)
Si è passati dalla funzione discontinua S(i), divergente per i → ∞, ad una funzione interpolante continua SINT(x), divergente per x → ∞. Questa funzione “regolarizzata” è una semplice retta. Come tale può assumere tutti i valori reali possibili ed immaginabili. A noi piace tanto il valore -1/2. Quindi basta valutarla nel punto giusto. Ci piace vincere facile: per x = 0 abbiamo proprio SINT = -1/2. Ma non si vede perché il valore asintotico (infinito positivo) che abbiamo per i → ∞, dovrebbe essere barattato col valore negativo (-1/2) di una funzione SINT(x) che, per quanto parente di S(i), è stata valutata arbitrariamente nell’origine: x = 0. La cosa è quanto meno oscura.
Si consiglia la lettura di: The Riemann Zeta Function – Physics, Winter 2011. La spiegazione §9, non è rigorosa ma almeno mostra perché si associa ζ(0) = -1/2 a S = 1+1+1+… Al medesimo risultato si può arrivare in vari modi, All. 5. La spiegazione di Wikipedia è in All. 6. Alcuni particolari sono in All. 7. In All. 8 il risultato è ricavato tramite una espressione alternativa di ζ(s)
11 Parafrasi
Odifreddi scrive di Banville:
Vuoto riferimento … probabilmente orecchiato dalla Fisica …
Mi chiedo se divulgazioni con errori matematici banali siano:
Vuoto riferimento … probabilmente orecchiato …
L’Autore ci offre in compenso una riflessione intrigante:
Dato che la stupidità è così diffusa, dovrebbe avere vantaggi evoluzionistici.
Parafrasando:
Dato che l’arroganza è così diffusa, deve avere vantaggi evoluzionistici
12 Conclusione
E’ errato attribuire ad una media di somme parziali (cioé alla somma di Cesaro) il potere di far convergere 1+1+1+… al valore -1/2.
Quelli che desiderano entrare in particolari potranno trovarli negli allegati in:
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44 commenti
Ringrazio l’articolista per l’impegno ma non sono riuscito a seguire tutti i passaggi con la pazienza e le capacità necessarie. Colpa mia.
Dico solo a mo’ di battuta, sperando che Odifreddi intervenga per dire la sua, che il nostro matematico dopo essersi attribuito gli aggettivi “impertinente” e “impenitente” dovrebbe come minimo cospargersi il capo di cenere e definiersi pure “incompetente”…
No, Cipriani, Odifreddi sa benissimo come stanno le cose in matematica. Il problema di Odifreddi è che le sue vantate “impertinenza” (= andare fuori tema regolarmente) e “impenitenza” (= non pagar mai pena per gli errori) ne fanno un divulgatore scientifico tanto divertente quanto inaffidabile. È difficilissimo divertire ed essere seri in scienza allo stesso tempo: uno che ci sapeva fare era Feynman.
Significa che inganna sapendo di ingannare?
Sì, è compreso nella sua “impenitenza”.
Ma non sempre. In fisica o in filosofia per es. molto spesso inganna anche se stesso, perché non le conosce.
QUESTO https://it-it.facebook.com/notes/scienza-e-fede/delirio-di-piergiorgio-odifreddi-lo-stato-dovrebbe-imporre-laborto-alle-donne-i-/358228037524069/ è Odifreddi, signori miei. http://www.uccronline.it/2012/03/25/quellasino-di-odifreddi/
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Poi la cosa divertente è che critica Zichichi, il quale ha scoperto
Ha scoperto: 1) la produzione in coppia di mesoni pesanti con “stranezza” positiva e negativa (prova decisiva per l’esistenza del numero quantico “stranezza” nell’Universo Subnucleare); 2) l’Antimateria Nucleare; 3) l’Energia Effettiva nelle Forze tra quark e gluoni; 4) la struttura “tipo-Tempo” del protone; 5) il primo esempio di particella barionica con un quark della terza famiglia; 6) l’effetto “leading” nella produzione di barioni con cariche di “sapore” subnucleare della seconda e della terza famiglia di quark; 7) che l’ultimo mattone pesante carico dell’Universo alle energie estreme finora raggiunte non si può rompere.
.
E ha inventato: 1) la tecnica per costruire campi magnetici polinomiali di altissima precisione; 2) la tecnica per identificare con elevata potenza risolutiva coppie leptone-antileptone; 3) il circuito elettronico per la misura d’alta precisione (70 ps; ps = un millesimo di miliardesimo di secondo) dei tempi di volo delle particelle subnucleari; 4) lo spettrometro a massa mancante con neutroni ad alta risoluzione spaziale e temporale; 5) il Multigap Resistive Plate Chamber (MRPC), un nuovo rivelatore di particelle cariche la cui risoluzione temporale è un record mondiale.
.
E l’asinello d’oro che cosa ha scoperto? A parte un nuovo grado sulla scala Richter dell’idiozia affermando che l’aborto dovrebbe essere imposto per legge, si intende.
Affermazione criminale, oltre che idiota.
E non ho problemi a dire che uno stato che imponesse una legge del genere mi vedrebbe come pericoloso dissidente pronto a qualunque cosa per evitare una simile barbarie.
Ma già, l’asinello d’oro rimpiange l’URSS. 😉
Sapesse come la capisco! Mi ci è voluta molta, ma molta pazienza.
Nel testo ho lasciato solo calcoli facili ma noiosi, da pallottoliere.
Critico Odifreddi per questo:
1) L’arroganza con cui liquida l’argomento affermando “con un paio di conti si vede che…”
2) L’errore matematico per cui stima -1/2 quando il risultato è +infinito.
E questo sì che si liquida in un attimo: la somma parziale di N unità è N.
Crescono come la più banale delle progressioni aritmetiche.
La loro somma, come si insegna ai ragazzini è N (N+1) / 2
La loro media è la somma suddetta diviso il loro numero N, che fa (N+1)/2.
Guarda caso cresce sempre, diverge ad infinito.
Odifreddi se lo sogna il risultato -1/2.
Caro Giuseppe come ti capisco!
L’arrivo di Mojoli mi ha costretto a ritornare sui banchi di scuola a studiare matematica… 😀
Da parte mia mi appassiono al quesito: stupidità e arroganza hanno vantaggi evoluzionistici?
E in ogni caso, è possibile dimostrarlo?
Dimostrazione NON matematica del vantaggio evoluzionistico:
Stupidità. Siamo in democrazia, ed è maggioritaria. Quindi vince.
Arroganza. Si è mai visto vincere il mite? Chi perde non si riproduce.
Luigi, molto interessanti le tue sintetiche e pungenti risposte, hai mai pensato di prestare la tua logica allo studio dell’evoluzione? 😀
Pero’ non vorrei che si confondessero dei processi completamente inconsistenti con una trattazione coerente degli infiniti, che e’ possibile.
In QED la rinormalizzazione e’ stata portata ad essere una procedura piuttosto coerente analiticamente con le teorie di Gauge e i campi rinormalizzabili.
Il problema non e’ il fatto che la serie sia divergente, che la serie di somme su n, (-1)^n non converge proprio a nessun valore e quindi assumendo per ipotesi un valore e’ possibile fondamentalmente dire qualsiasi cosa.
Stai fondamentalmente costruendo una nuova matematica assiomatica, che difficilmente renderai consistente.
Ad esempio il limite per x-> infinito di log(x)/x converge tranquillamente anche se il numeratore va a infinito.
(piu’ preciso per un confronto con le serie sarebbe parlare di integrabilita’ degli infiniti, ma si va forse troppo nello specifico)
Ho citato i testi dove si tratta seriamente della rinormalizzazione. .
Ho anche detto che la rinormalizzazione è ormai accettata, e che la matematica che la giustifica è Gruppi di Rinormalizzazione.
Non sto fondando un bel niente. E lascio gli sfondoni a Odifreddi.
Ho mostrato che Odifreddi “fonda” una rinormalizzazione tutta sua su una matematica tutta sia. Chi la condivide lo dica.
Mi pare che proprio i fisici dovrebbero seccarsi di questa divulgazione basata su errori matematici banali (li vedo persino io!).
Capisco la puzzetta sotto il naso, io sono solo un ex metalmeccanico, ma mi si conceda almeno che possa capire una somma alla Cesaro, e quando si erra nel calcolarla. Anche un ragazzino se ne può accorgere.
Non ho letto il libro, ma
A me sembra che Odifreddi abbia l’intento divulgativo di “cercare di capire cosa pensava” Ramanujan (e altri), cercando di esplorare questa matematica dell’assurdo.
Sono i vari paradossi, che in quanto tali sono sempre sbagliati ma sempre interessanti da approfondire in quanto evidenziano gli sbagli (in questo caso il semplice ritenere convergente una serie che non e’ divergente, ma non-convergente).
Odifreddi ne ha fatti un bel po’ di errori veramente imperdonabili nella sua divulgazione, ma non mi pare che questo sia uno di quelli.
Poi beh, ognuno pensi quello che vuole.
Riguardo alla rinormalizzazione sono contento che sia chiaro che e’ una procedura che non e’ solo “accettata” in quanto “prassi” ma motivata una volta armati di una matematica piu’ robusta.
Ognuno la pensi come vuole. Certo. Ma se dico che 7 per 4 fa 82 sono un asino libero.
E se giustifico 1+1+1+… = -1/2 in base alla media delle somme parziali cosa sono?
Ho letto male o questo ha scritto Odifreddi?
E poi non ho riportato, fotografato, cosa ha scritto Odifreddi? Non c’è bisogno di leggere il suo libro. Ma occorre farlo per provare che il Nostro non ha mai scritto quello che io gli attribuisco. Ogni tanto, nella vita, occorre farsi parte diligente. E’ faticoso, ma onesto.
Per una mia dimenticanza non avevo inserito degli allegati che l’Ing Mojoli ha preparato come supporto all’articolo.
Adesso ho provveduto il coda all’articolo stesso.
Chiedo scusa all’autore e ai lettori.
Se esiste una parola ambigua (e che quindi dovrebbe essere bandita nella divulgazione scientifica) è proprio la parola ‘facile’ (due facili conti, si dimostra facilmente che.., e facile capire come..). Luigi Mojoli ci dimostra come le cose SI POSSANO CAPIRE ma che necessitano ATTENZIONE. Egli ci porta per mano sì ma lungo un sentiero sdrucciolevole e noi dobbiamo stare molto attenti a ogni passo. Chiaramente sta a noi metterci buona volontà e impegno, Mojoli è una brava guida alpina che non ci illude dicendo che ‘arrivare in cima è facile’ ma semplicemente (parola da non confondere con facilmente) ci propone di aiutarci.
Opposto è il modo di comportarsi di Oddifreddi a cui è sufficiente imbonirci con il doppio scopo di solleticare il proprio ego facendoci esclamare di merviglia di fronte alla sua brillantezza e impedirci ogni pensiero critico attraverso l’insidioso retropensiero che ben presto si affaccia alla mente del lettore ‘mmmh in realtà non ci ho capito niente, ma se lui dice che è facile sarò io che sono stupido e comunque anche il mio mestiere necessita di apprendistato, poi a me ‘sembra’ facile è chiaro, anzi forse era facile da subito ma non lo capivo..come che sia mi conviene dire anche io che è facile’. E voilà signori, il gioco è fatto: la paura di dimostrasi stupidi ci porta ad assecondare l’imbonitore (che se fosse una guida alpina ci avrebbe fatto cadere nel primo crepaccio) , ammirare la sacerdotale maestà del maestro dei numeri e applaudire genericamente alla potenza della scienza che a noi generosamente porge il suo aspetto ludico e bonario. Non sappiamo rifare i calcoli, e va bene dai, fidiamoci lo stesso.
Questo gioco infame ha fatto digerire gli orrori e le false profondità dell’arte contemporanea sfruttando lo stesso sentimento di inadeguatezza (mah a me non dice niente, ma sarà di sicuro colpa mia che non capisco, anche io faccio un mestiere specializzato’ senza pensare al fatto ovvio che sicuramente solo pochi sapranno fare i chirurghi ma tutti sanno alla fine giudicare se dalla camera operatoria escono troppi cadaveri…Comunque noi abbiamo Mojoli che ci salva, l’arte contempranea ha avuto una critica definitiva che andrebbe divulgata nelle scuole (ma sarebbe oepra troppo rivoluzionaria), noi però ne dovremmo trarre spunto e consolazione:
https://www.youtube.com/watch?v=lj438bBpX9w
carissimi,
trovo sempre interessante quando qualcuno, completamente ignaro di ciò che succede al mondo (in questo caso matematico) si lancia a spada tratta contro ciò che non capisce.
nel caso in questione, in un minimo di modestia e un po’ di coscienza della propria ignoranza avrebbe evitato un post e alcuni commenti imbarazzanti.
per rimediare all’uno e agli altri, invito a studiare un po’. e, per cominciare, anche solo a consultare wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
Tanto per cominciare Wikipedia, in quanto popolare, l’ho citata proprio per 1+1+1+… = -1/2 . Stiamo al punto. Ho fatto notare che:
1) Il risultato deriva dal prolungamento analitico della funzione Zeta valutata nell’origine e
2) NON deriva “dalla media delle somme parziali” come affermato dal prof. Odifreddi
La differenza non mi pare poca visto che quella media diverge a +infinito.
Chiedo umilmente al prof. Odifreddi di spiegarci il miracolo della sua media di somme parziali di 1+1+1+… che convergerebbe a -1/2. Oppure di dire che, per sua autorità, dobbiamo crederci.
Possiamo adeguarci e credere al miracolo. Il CICAP ce lo perdonerà.
Oltre ad affermare il fatto suddetto il prof. Odifreddi ha anche dichiarato che “bastano due conti per vederlo”. Li metta nero su bianco, questi due conti, faranno quattro righe.
Sono certo che, con la bonaria affabilità che lo contraddistingue, vorrà illuminarci.
Quattro righe non si negano a nessuno. Ne ha sprecate sei per segnalarci Wikipedia.
A priori non posso garantire di capire la spiegazione ma almeno potrò chiedere lumi a qualche paziente amico matematico. In ogni caso appenderò la spiegazione del prof. Odifreddi in camera da letto a perenne memoria della mia pochezza, presunzione, ignoranza ed altro.
Attendo con fiducia di vedere come 1+1+1+ … = -1/2 discenda da una somma alla Cesaro.
Pronto a cospargermi il capo di cenere nel caso due conti in quattro righe lo dimostrino.
In assenza dei famosi “due conti” la questione per me si chiude qui.
Gli insulti, senza conti, non dimostrano nulla, salvo lo stile di chi li lancia.
Veramente io leggo: “… le somme parziali crescono continuamente”.
Quindi non ha mai affermato che facendo le somme parziali si possa arrivare a un risultato negativo, ma che facendo “dei conti” sia possibile arrivare a -1/2.
Francamente che non mostri i conti del prolungamento analitico della Zeta di Riemman, e come tale forma analitica sia un po’ come “considerare a ogni passo la loro media” (somme (-1)^{n-1}/n^s), mi sembra anche normale, in un libro divulgativo.
Non so se tu ne hai mai scritti con editori di successo, io no, ma me li immagino che appena vedano una formula strappino la pagina.
Cara IdS, se per fare l’avvocato difensore di Odifreddi devi abbassarti a questo punto, è meglio che torni nel tuo laboratorio di fisica. Gli errori di Odifreddi sono quelli evidenziati da Mojoli e non c’è scampo:
1) se si considerano le forme parziali, il risultato “deve” (non “può”) essere infinito (errore n. 1);
2) anche se si considera “la loro media” il risultato è sempre infinito, non -1/2 (errore n. 2);
3) anche se si passa per la funzione zeta, non sono “due conti” (errore n.3);
4) e poi quel -1/12 non è “un valore della funzione zeta” (errore n. 4);
5) per non parlare di quello che Odifreddi dice su Cantor e la filosofia, dove tace, o non sa, del terzo tipo di infinito di Cantor, filosofico e non matematico (attuale assoluto determinato non incrementabile).
Altro che divulgazione scientifica! Balle per ignoranti creduloni. Perché difendi simile spazzatura?
3) anche se si passa per la funzione zeta, non sono “due conti” (errore n.3);
In realta’ si’, e’ una dimostrazione letteralmente di due passaggi.
“Perché difendi simile spazzatura?”
Odifreddi si sa difendere da solo credo, non ho neppure letto il libro non ho la pretesa di darne un giudizio. Do solo informazioni.
Una informazione e’ che Luigi continua a sostenere che Odifreddi abbia detto che le somme parziali di 1 faccia -1/2, Odifreddi ha esplicitamente detto il contrario nello stralcio riportato.
Un’altra informazione e’ che Odifreddi ha scritto esplicitamente cose decisamente sbagliate, questa non e’ fra queste marchianate.
Perche’ consideri spazzatura aggrappandoti a mezza frase di Odifreddi su un libro intero con intento divulgativo, quando qua si leggono abomini tipo che se si e’ bravi Cristiani non si contrae il papilloma virus e sei d’accordo con questo?
“Due passaggi”, che presumono la conoscenza delle serie e delle loro trappole, non sono “due conti”, IDS. E poi ci sono tutti gli altri errori. Se non fai l’avvocato di Odifreddi, fai il pignolo che si arrampica alle quisquilie. DISINFORMAZIONE.
PS. Dove io mi sono dichiarata d’accordo che i bravi cristiani non contraggono il papilloma? Falso. Per i commenti altrui, come dei tuoi, io non rispondo.
Mah la pignola non mi pare di essere io francamente.
Odifreddi parla di Zeta di Riemman, e lo dice all’inizio.
Al contrario si leggono di quelle baggianate enormi (quello del HPV era un esempio, potrei citarne altri come definizioni sportive di “Specie” e interpretazioni “alla Masiero” della MQ) che pero’ magari sono della vostra parrocchia e si fanno passare.
Se si adottasse lo stesso livello di pignoleria non frequentereste questi lidi, che richiedono di lasciar passare errori ben piu’ consistenti e frequenti.
E va (piu’ o meno) bene neh, la divulgazione e’ fatta anche di questo (forse), anche per questo non la faccio.
Poi non mi pare di elogiare o difendere Odifreddi in quanto tale: continuo a sostenere che ha scritto baggianate indifendibili e imperdonabili (ma tanto lui e’ impenitente :P), che qualcuno mi pare abbia linkato poco sopra, semplicemente questa non mi pare della stessa risma.
Dunque, IdS, ti sei inventato la storia che io sarei d’accordo sui bravi cristiani ecc. Come “informazione” sei uno schianto… Il resto è OT.
Non ho creato nessuna “storia”, sei tu che hai parlato di spazzatura, ed e’ ovvio che se devi dare della “spazzatura” al libro di Odifreddi per questa divulgazione, dovresti fare altrettanto con questo angolo di rete.
Io credo semplicemente che bisogna essere un po’ elastici, prima di definire “spazzatura”.
Se ti accontenti, di sicuro godi. Beato te.
Le somme dei termini (-1)^{n-1}/n^s) sono una cosa.
Le somme parziali di 1+1+1+… sono altra cosa.
Scambiare una cosa per un’altra non è matematica.
Ma chi si contenta gode.
Quanto alle formule esistono buoni libri divulgativi dove qualche conto c’è. Quando fosse troppo complicato si mostra un grafico col risultato.
Oppure si ammette: troppo complicato per voi.
In altri libri purtroppo ho trovato di tutto, compreso 2^N / 3^M = numero irrazionale (con N, M interi).
Dovrei giustificare pure questo in nome della divulgazione? E’ facilissimo:
7/2 = 3.5 = razionale.
2/7 = 0.285714… = “irrazionale”
Mi rifiuto di farlo. Un errore è un errore.
E certi libri, contenendo molti spunti interessanti, avrebbero tutto da guadagnare se errori incredibili e banali fossero espunti.
Con tanti giovani in grado di rivedere una bozza costerebbe pure poco.
Infine: chi grida alla lesa maestà, è sicuro di fare un buon servizio a Sua Maestà?
Ho i miei limiti,
Sommatoria di (-1)^{n-1}/n^s) con s complesso
per me non è uguale a
Sn = (1+n)/2
Se tu intendi semplificare fino a questo punto, beato te. Io lo chiamo gioco delle tre tavolette.
Stimo tantissimo chi lo fa, vince sempre lui!
Solo che io non ci gioco, sapendo che perderei.
Su una cosa credo che possiamo convenire: mai sarà vero che Sn definita come media delle somme parziali di 1+1+1+… tenderà a -1/2.
La spiegazione vera si dà se possibile, si cita se troppo difficile per i destinatari. Questo è il mio punto di vista. Opinabile come tutti i punti di vista. Compreso il tuo.
Metto qui un commento ciò che INFORMAZIONEDISERVIZIO
Scrive più innanzi. Non so se rubricarla disinformazione (maliziosa) o disservizio (involontario). Oggettivamente,
questa affermazione è gratuita, strumentale, scorretta:
“Una informazione e’ che Luigi continua a sostenere che Odifreddi abbia detto che le somme parziali di 1 faccia -1/2, Odifreddi ha esplicitamente detto il contrario nello stralcio riportato.”
Falso. Odifreddi non lo dice. Non cita “somme parziali” ma “medie di somme parziali” ed io mai gli cambierei una parola in bocca. Se il Lettore non capisce la differenza io ci posso fare poco, salvo compatirlo.
Basta rileggere con attenzione. Quello che sostengo è quello che ho scritto e non quello che capziosamente mi si attribuisce.
Lo stralcio è questo virgolettato (con preghiera di verificare sull’originale che alcuni non hanno letto ma affermano che io travisi, anche qui dovete credere per la loro autorità):
“Ma se, invece di considerare le somme parziali, si considera ad ogni passo la loro media, con un paio di conti ci si accorge che il risultato è… meno un mezzo.”
Le somme parziali sono Sn = n. La loro media al passo n_esimo è SM = (1+n) / 2. Punto.
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Non esiste una sola definizione di “media delle somme parziali” 😉
E si possono sempre fare segnalazioni garbate, le seconde edizioni esistono apposta, e se dovessimo attaccarci a una frase per parlare di disinformazione non finiremmo piu’ di analizzare questo ed altri blog, compresi i tuoi interventi che fidati non sei esente da errori.
PS: Anche in Italiano “considerare ad ogni passo la media delle somme parziali” e’ diverso da “media delle somme parziali”.
Hai fatto sto cinema sulla “media” associandola alla somma di Cesaro, ma nell’estratto si dice una cosa diversa.
Lasci perdere, Mojoli: Disinformazione&Disservizio è un tipico studentello pedante, tu gli indichi la luna e lui ti guarda il brufolo sul dito, tanto per dirti che non sei bello e bravo come lui.
Appunto ,opinabile visto che si tratta di un capitolo che vuole dare una descrizione divulgativa di alcune applicazioni matematiche alla teoria del multiverso (che viene scartata a priori per motivi religiosi dai seguaci di pennetta).
Chiusa la parentesi,vi rendete conto che insultando a destra e a manca chi ha fatto scelte di coscienza diverse dalle vostre vi coprite di ridicolo? Io penso che questa montagna di sciocchezze possa finire solo in una maniera,e non certo sui libri di storia della scienza.
Gargamella, se affermi che la teoria del multiverso viene scartata per motivi religiosi o sei male informato o sei in malafede, a visto come ti esprimi e l’uso di termini quali “seguaci” propendo per la seconda.
Significativo anche il fatto che veda insulti dove non ce ne sono.
Dove finirà il lavoro che facciamo qui lo vedranno altri, non sta a noi dirlo e non lavoriamo pensando a questo, ma perché no sui libri di storia della scienza?
Mi scusi Enzo se mi intrometto, ma l’autore dell’articolo ha scritto a Odifreddi che è venuto qui a insultare, dimenticandosi che nei vari commenti (anche dell’autore stesso) gli è stato dato dell’asino e dell’idiota. Ora verrebbe da chiedersi perchè il tal Gargamella ha notato la cosa ed invece voi no. Non sarete un pochino prevenuti?
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Già che ci sono approfitto per dire la mia, senza per questo voler prendere le difese di Odifreddi: se l’errore di cui si parla sta nell’aver indicato le “medie di somme parziali” al posto delle “somme parziali” delle serie divergenti, non sarebbe stato meglio indicarlo come tale senza imbastirci attorno tutti questi ragionamenti con tanto di allegati?
Per Flavio
“scusi Enzo se mi intrometto, ma l’autore dell’articolo ha scritto a Odifreddi che è venuto qui a insultare, dimenticandosi che nei vari commenti (anche dell’autore stesso) gli è stato dato dell’asino e dell’idiota.”
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Dare dell’idiota a uno che fa affermazioni simili http://www.uccronline.it/2011/12/14/leugenista-odifreddi-«lo-stato-deve-imporre-laborto-alle-donne»/
è in effetti molto riduttivo, Flavio.
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Non che mi stupisca che il nipotino di Voltaire Odifreddi abbia fatto simili affermazioni, successivamente Dawkins ne aveva fatte anche di peggiori dicendo “Con rispetto… ogni feto è meno umano di un maiale adulto“. https://richarddawkins.net/2013/04/tweeting-on-abortion/
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Pertanto siamo d’accordo: dare dell’idiota ad una persona così è offensivo…. Nei confronti degli idioti!
Meglio che non dica quello che penso davvero.
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Riguardo all’asino beh…. Il curriculum del “””””””””””””professor”””””””””””” Odifreddi parla da se, due asini d’oro non sono certo roba da tutti i giorni https://andreamacco.wordpress.com/2009/03/26/odifreddi-finalmente-licenziato-pronto-il-nuovo-asino-doro/
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Ma posso capire, Flavio, che tu sia portato ad empatizzare con Odifreddi, essendo tu uno scientista anticristiano (bytheway, Odifreddi lo definirei più volentieri sceMtista).
La teoria del multiverso, Gargamella, viene scartata perché non è una teoria scientifica. http://www.enzopennetta.it/2013/05/col-multiverso-si-tradisce-leredita-di-galilei/
Nessun apriorismo quindi, se non il vostro. Voi sperate di poter dimostrare la teoria del multiverso per risolvere il problema del fine tuning con l’unico dio nel quale credete, il Caso, ma non vi rendete conto che è solo uno spostare il problema più in là, anche perché oramai tutti sono arrivati alla conclusione che l’universo debba avere avuto un inizio, anche qualora venisse provato il multiverso o fantasticherie simili.
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Ma purtroppo le evidenze vanno tutte contro di voi http://www.uccronline.it/2012/02/04/contrordine-prof-hawking-luniverso-ha-avuto-un-inizio-ma-non-sappiamo-come/
“Anche per la ripugnanza che taluni provano verso le implicazioni metafisiche di un assoluto inizio dell’Universo (“che ricorda da vicino la Bibbia”, Einstein), gran parte della ricerca cosmologica dell’ultimo mezzo secolo è stata impegnata ad escogitare modelli alternativi al Big Bang, capaci di ripristinare la confidenza scientifica in un Universo eterno. La prima parte della conferenza di Cambridge è stata dedicata alla rievocazione di questi tentativi e -a dimostrazione che anche gli scienziati hanno un cuore-, non nasconderò ai lettori che è scorsa qualche lacrima nelle omelie funebri succedutesi per commemorare le cadute, una dopo l’altra, dei modelli alternativi: dallo stato stazionario di Hoyle agli oscillanti eoni di big bang-big crunch di Lifschitz e Khalatnikov, dagli inflazionari più o meno caotici e più o meno quanto-gravitazionali di Linde e Guth, ecc. Niente da fare, per tutti i modelli possibili ed immaginabili “ogni evidenza che abbiamo dice che c’è stato un inizio”, ha allargato le braccia A. Vilenkin, co-autore di un famoso teorema del 2003 sul limite del tempo passato. Nemmeno l’ultimo candidato della serie, l’uovo cosmico, embrione degli infiniti universi del multiverso, può essere esistito da sempre, perché l’instabilità quantistica lo costringerebbe a collassare dopo un tempo finito, prima di dare origine ad un piccolo universo – ha illustrato nel suo speech lo stesso cosmologo con un nuovissimo teorema. http://arxiv.org/abs/1110.4096
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Si metta il cuore in pace quindi, anche perché l’origine del mondo spetta alla metafisica decifrarla, non alla scienza. http://www.enzopennetta.it/2016/01/breve-storia-della-straordinaria-e-gustosa-cobalamina/#comment-46693
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A difesa di Odifreddi c’è appunto il fatto che scrivendo per la divulgazione bisogna “stupire”, da qui la frase criticata. La reazione del medesimo Odifreddi però non la scuso, per me ha letto sommariamente l’articolo di Mojoli e ha sparato insulti un po’ qua e là per coprirsi la rapida fuga, dopo breve apparizione.
Certo, qui si fanno volentieri le pulci al “matematico impertinente” perché rappresenta la quintessenza dello scientista arrogante e “saputo” e la sua risposta astiosa e poco costruttiva non fa che confermare questa sua immagine che non può essere gradita a chi critica lo scientismo.
Trovo poi che le pezze messe da chi vuole difendere Odifreddi siano peggiori del buco perché tirano in ballo questo sito che li ospita e perché si pretende di ammutolire chi fa le pulci allo scientista impertinente e impenitente facendo riferimento ad affermazioni di terzi che non c’entrano nulla con l’autore di questo articolo. In pratica se sono state dette delle castronerie su questo sito, perché non si dovrebbe informare anche delle castronerie che vengono scritte e dette al di fuori dello stesso che sono sicuramente più numerose ? In base a quale logica si può pretendere questo silenzio ? Per me in base solo al fatto che questo sito da fastidio a molti che non sopportano che il proprio credo scientista sia messo in discussione perché lo ritengono l’unico ammissibile, alla faccia del relativismo e dell’anti-integralismo che di solito vanno predicando.
Concordo in toto, Muggeridge.
Il povero Oddy, da impertinente che era, è stato ridotto a ” matematico materasso” dove tutti ci saltano sopra quando sono in vena di divertirsi.
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Devo confessare che a me, il caro Piggì, in fin dei conti è sempre stato simpatico, fa così tenerezza…
Specialmente in televisione quando viene immancabilmente ” asfaltato “un po’ da chiunque.
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Sapete, mi richiama alla memoria un personaggio del ” Corrierino dei piccoli” di più di un mezzo secolo fa (lo conosco perché me ne ha parlato mio padre) sor Pampurio ; un personaggio che usciva da ogni avventura immancabilmente scornato.
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Sor Pampurio gli rincresce
d’ esser stato così pesce…
recitava, sempre invariata, la filastrocca a conclusione delle sue vicende.
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Per dettagli http://www.amicidelfumetto.it/carlobisi/sor-pampurio-è-arcicontento
😀 😀 😀 😀
Posso dire che se Odifreddi ha fatto un intervento poco civile nei toni è stato ripagato con gli interessi? Sì, posso dirlo. E fa specie che chi si definisce cristiano/cattolico/seguace del Cristo a seguito di importante evento della sua vita non sia stato toccato abbastanza per essere migliore di chi si professa non credente e, soprattutto, non cristiano. A me, come scrivevo qui sotto, interesserebbe di più una estesa onestà intellettuale che purtroppo è lungi dal venire a galla… E da Enzo mi aspetterei che dicesse qualcosa riguardo alle offese e prese per i fondelli che sono stati riservati a Odifreddi da parte di chi, alla fine, critica più l’uomo Odifreddi che i suoi assunti. Amen
Purtroppo del contendere ci ho capito poco… Mi è chiaro che Odifreddi, con un solo intervento, ha dato a chi ha messo in dubbio la sua competenza la patente di incapaci di intendere, di gente che deve studiare…
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Se stesse leggendo, gli chiederei di esporre in modo più significativo dove sbaglia chi lo accusa di aver fatto una divulgazione sommaria. E, impossibile da ottenersi immagino, che dicesse se ha sbagliato con spirito umile e gratificante per noi e soprattutto per se stesso… Sarebbe bello che accadesse un miracolo a tal guisa, che fossimo tutti capaci di fare autocritica: accusati e accusatori, se tanto richiede il più elevato grado di onestà intellettuale che eleverebbe tutti noi e solleciterebbe un nutrito battito di mani. Ma “bisogna tegner su el palco”, dicono da noi e di miracoli di quel tipo all’orizzonte non si vede traccia…
Cipriani, anche se non hai fatto analisi matematica, ragiona con la tua testa: 1 + 1 + 1 + 1 + … cosa fa? Ti chiederai: cosa significano i puntini?
I puntini significano che la somma non finisce mai, come il supplizio di Tantalo. Allora alla fine della giornata, mettiamo che hai fatto 10.000 somme, a cosa sei arrivato? Intanto a 10.000.
Riprendi il giorno dopo, da 10.000, il supplizio +1+1+1… e fai altre 10.000 operazioni. Dove arrivi? a 20.000. E dopo un anno? 10.000 x 365 = 3.650.000. E dopo un secolo? 100 x 3.650.000 = 365.000.000.
Insomma la somma è sempre più grande o no? Sì, sempre più grande, oltre ogni limite. Questo significa che 1+1+1+… = infinito.
Adesso fatti spiegare da Odifreddi (o da un suo chierichetto), “in due conti”, perché fa -1/2. Io sono scema e handicappata e non ci arrivo.
Scrivi la formuletta corrispondente a ciò che Odifreddi intende secondo te.
Sotto riporta virgolettate le parole di Odifreddi che intendono la stessa cosa.
Perché tirarla in lungo?
l’ho già scritta, e secondo me le parole, che sono imprecise e interpretabili in molti modi in quanto parole e non matematica, sono compatibili con una descrizione verbosa dello sviluppo in serie della funzione Zeta di Riemman.
“la media delle somme parziali” significa fare le somme s1,s2,…,sn e poi farne la media, cioè dividere per “n” fuori dalla somma.
in italiano “considerare ad ogni passo la loro media”, significa per forza che la divisione è all’interno della serie. Somme di s_i / i, se vogliamo.
E’ tagliata a fette grosse, ma su un libro una frase del genere può scappare, e che non mostri i conti uno per uno mi pare normale. E’ un libro per Rizzoli che trovi alla Feltrinelli sottocasa, non un testo scolastico.
A questo punto non ho più molto da dire, se non che Anna ha capito molto poco sia del mio intento, sia della questione:
perchè non siete gli unici che col dito indicano una direzione, e trovo abbastanza ironico che tu col tuo petulare ti fermi molto prima di dove ti voleva portare Odifreddi, cioè a vedere come una serie può non essere vista esclusivamente una somma di numeri.
Indipendentemente se ci sia riuscito o indipendentemente se abbia commesso errori, la morale c’era.
E pure Luigi l’ha ben spiegato in questo articolo, che vedo più che altro al netto degli insulti come un elaborato chiarificatore su quelle poche righe quindi tanto meglio ci sia stato. Cipriani leggi con pazienza e vedi che capisci.
L’intervento spocchioso di Odifreddi anche quello cercate di capirlo, gli si è dato dell’incompetente, non sempre si ha il sangue freddo di far vedere con pazienza, pure su lidi altrui… Io non so se ce l’avrei fatta.
Luci e ombre nell’intervento di Odifreddi, da sempre vado contro corrente trovando che sia un antipatico-simpatico, e da sempre sostengo che rispetto alla quasi totalità delle figure pubbliche nella divulgazione scientifica ha il merito di di non essere uno snob e accettare di parlare con tutti.
Le ombre sono nel fatto che quest’ultimo pregio è stato, almeno in questa occasione, vanificato da un intervento che non ha chiarito nulla e che rimanda solo alla lettura di wikipedia.
Un’occasione sprecata direi.
Un saluto sincero al matematico impertinente.
ep