L’essenza della matematica (Parte II di 2)

“Composizione” (Piet Mondrian, 1921)

L’essenza della matematica (Parte II di 2)

di Giorgio Masiero

Quell’elevazione verso cieli sempre più alti e meno densi…

Il britannico G.H. Hardy, celebre per essere stato il mentore dell’enfant prodige indiano Ramanujan, era un amante della matematica astratta, quella che si coltiva solo per la sua piacevolezza. Per questa inclinazione egli si dedicò principalmente alla teoria dei numeri, a suo parere “la parte più pura e meno utile di tutta la matematica”. Che applicazioni può avere l’Ultimo teorema di Fermat?, mi ha chiesto qualche settimana fa un lettore, con la risposta negativa in tasca. Se Hardy era ai suoi tempi giustificato in questo pregiudizio, meno lo sarebbe un matematico contemporaneo: la teoria dei numeri infatti, nella quale rientra il teorema di Fermat, trova oggi molte applicazioni, dal controllo dei sistemi automatici alla trasmissione dei dati via satellite, dalla protezione dei record finanziari alla crittografia ad algoritmi efficienti per il calcolo, ecc. Quel lettore sarebbe sorpreso di sapere che la sua domanda, proveniente magari dall’altra parte del mondo, come le sue operazioni di home banking viaggiano nell’etere codificate sui numeri primi. E proprio dalla teoria dei numeri è nato il ponte che ha congiunto il discreto al continuo, ora non più due concetti opposti, ma espressioni della stessa characteristica mathematica.

Quale characteristica? In chiusura dello scorso articolo ho evocato le congetture di Weil, come l’occasione della mia comprensione. Spiegare rigorosamente le congetture di Weil ad un pubblico non specialistico è impossibile. Farò così: non renderò le cose troppo facili, per non svilire l’argomento, ma le semplificherò solo nella misura minima per farmi comprendere da uno studente di liceo, in un compromesso che andrà necessariamente a danno dell’esattezza dei concetti. I rigoristi sono avvisati! E la prenderò alla larga, come ormai i lettori hanno imparato che si fa in questioni matematiche.

Augustin Cauchy (1789-1857) fu una persona intransigente, tanto nell’ortodossia e nella morale cattoliche quanto nel rigore matematico. In cent’anni, a partire da Newton e Leibniz, l’analisi (reale) aveva fatto enormi progressi, ma quale scenario d’idee confuse e procedure inaffidabili si aprì agli occhi del giovane ingegnere parigino, che – abbandonati ponti e strade – sentì impellente il dovere di ricostruirla dalle fondamenta. Cominciò dai numeri reali e dalle operazioni delicatissime di limite, che erano state trattate troppo disinvoltamente dal vulcanico Eulero. Fatto ordine, Cauchy si dedicò all’investigazione di nuovi territori. Qui la sua scoperta più importante fu la teoria dell’analisi complessa, entro cui rientra il concetto di funzione analitica. Se c’è una rappresentazione visiva, comprensibile a tutti, dei concetti principali dell’analisi – continuità, liscezza (o differenziabilità), infinito – questa sta nel grafico (del modulo) di una funzione analitica (v. figura sottostante).

Una funzione analitica

In una funzione analitica ci si sposta da un punto all’altro

1)      con continuità, senza salti;

2)      in maniera liscia, senza punte né svolte aguzze; e

3)      il paesaggio è vario, costituito di pianure, vallate, depressioni ed anche montagne con altissime vette.

Che cosa di più opposto, almeno in apparenza, al ticchettio monotono dei numeri naturali 0, 1, 2,…? Un’altra caratteristica delle funzioni analitiche, sorprendente e nell’analisi reale inimmaginabile, è

4)      la prolungabilità:

se di una funzione analitica conosciamo un qualsiasi cammino interno (come quello bianco tratteggiato in figura, indicato con S), allora possiamo estrapolare una descrizione dell’intero paesaggio. Insomma, avviene come se dalla cartina di un sentiero alpino potessimo inferire una mappa 3D di tutte le Alpi, anzi di tutto il globo terrestre! Consideriamo allora un “sentiero” specialissimo, quello dei numeri primi:

 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, …

Si può immaginare una sequenza più discontinua e allo stesso tempo più imprevedibile di questa? I numeri primi – oltre ad essere infiniti, come dimostrò Euclide ricorrendo a quel grimaldello logico che gli Scolastici chiamavano reductio ad absurdum – si susseguono in un modo che costituisce tuttora il più grande mistero della matematica. Eulero: “Fino ad oggi [XVIII secolo] i matematici hanno tentato invano di trovare un ordine nella sequenza dei numeri primi. Noi abbiamo ragione di ritenere che questo è un mistero entro il quale la mente non penetrerà mai”. Eppure, proprio l’Eulero di questo giudizio sconsolato inventò il primo modulo d’attacco alla decifrazione della sequenza, che aggiunto ai moduli di Cauchy e di Riemann di un secolo dopo e agli sviluppi matematici più recenti, ci dà oggi la speranza di poter espugnare questa Masada un giorno. Anche se non possediamo ancora tutto lo spartito, udiamo già le prime note di una melodia sopra il rumore di fondo della sequenza…

Della sequenza dei numeri primi Eulero costruì una prima mappa uni-dimensionale, il “sentiero bianco tratteggiato” della figura precedente, da cui poi con il prolungamento di Cauchy, Riemann avrebbe estrapolato il paesaggio di un’intera funzione analitica, la funzione zeta (v. figura sotto).

Grafico del modulo della funzione zeta di Riemann

Nella figura, zeta ci si presenta come un tendone da circo a strisce colorate, con noi sotto a guardare lo spettacolo. La superficie del tendone pende in tante cuspidi fino a toccare il pavimento. Quando il vertice di una cuspide tocca terra, i matematici lo chiamano “zero”. Lungo una retta, l’asse x, si sa che gli zeri della funzione zeta sono infiniti, allineati ed equidistanti. Esattamente nelle posizioni: x = -2, -4, -6,… Questa è una prima regolarità della funzione, che però non sembra fornire alcuna informazione sulla distribuzione dei primi. Niente affatto banali sono invece gli zeri che appaiono allineati nella direzione y (precisamente, sulla retta x = +½) a distanze diverse! Anche di questi sappiamo che sono infiniti, ma ignoriamo se siano davvero tutti allineati e a quali distanze in generale si succedano. Riemann calcolò a mano nel 1859 la posizione dei primi 3 zeri non banali e li trovò allineati con la massima approssimazione che poté. Formulò allora la congettura che tutti gli zeri non banali della funzione zeta siano allineati sulla retta x = +½.

Senza dubbio la più importante questione aperta della matematica è questa congettura, detta l’Ipotesi di Riemann. Se essa è vera, la sequenza dei numeri primi è un singolare mix di ordine e caso. Nel 1903 Gram calcolò la posizione dei primi 15 zeri e li trovò allineati; nel 1935 Titchmarsh giunse alla determinazione dei primi 1.041: ancora tutti allineati. Con l’entrata in campo dei calcolatori questo genere di ricerche ha subito un’accelerazione: ai nostri giorni l’Ipotesi di Riemann è stata verificata per migliaia di miliardi di zeri e mai smentita. In questo modo diretto però, salvo che l’Ipotesi non sia falsa in uno zero raggiungibile, la Masada zeta non sarà mai espugnata.

È straordinario che la discretezza antonomastica dei numeri primi risulti codificata nella continuità antonomastica di una funzione analitica dei numeri complessi. È stupefacente che una regolarità di questa ci possa rivelare un ordine di quelli. La meraviglia lascia però il campo ad una riflessione inaudita: come si potrà mai dimostrare l’Ipotesi di Riemann senza superare, con una teoria matematica sufficientemente astratta, la dicotomia discreto-continuo?

Nella seconda metà del ‘900 sono germogliate con la geometria algebrica tutta una serie di funzioni “zeta locali”. La locuzione “geometria algebrica” è un ossimoro, perché sta per “continuità discreta”, che parrebbe una sorta di “bianchezza nera”! Un ponte tra isole discrete e continue della matematica, come la geometria algebrica, ci fa passare da un’isola all’altra, ma non dissolve l’identità delle isole, né può pertanto svelare l’unità dell’arcipelago. Eppure la geometria algebrica sta lì a dirci, con logica ferrea, che continuo e discreto devono coincidere se osservati da una posizione più elevata. Questa posizione fu trovata tra gli anni ’60 e ’70 del secolo scorso nello sforzo di dimostrare le congetture di Weil.

Le congetture di Weil sono affermazioni sul numero di soluzioni di determinate equazioni, con l’aspetto di essere ipotesi ragionevoli e che tuttavia nessuno aveva la minima idea di come dimostrare quando furono formulate. Prendiamo un’equazione, per es.

Una soluzione è (x = 1; y = 3). Ce ne sono altre? Dipende da quali numeri ci beviamo per “buoni”. Meno pretese abbiamo, più grande è l’insieme dei numeri tra cui cercare e più sono le soluzioni di un’equazione. Se ci accontentiamo degli interi relativi, c’è anche la soluzione (1; -3). Se poi ci vanno bene i numeri reali, allora le soluzioni diventano ancora più numerose: (2; √14), (-1; -√11),… Le congetture di Weil facevano precise predizioni sulla quantità di soluzioni per ogni famiglia di equazioni e per ogni campo numerico ed io le incontrai la prima volta qualche anno fa in ragione della loro applicabilità in tecniche di compressione dei dati e nella crittografia di messaggi e reti telematiche.

Per contare le soluzioni di un’equazione, la geometria algebrica dovrebbe contare il numero di configurazioni sotto l’azione di una trasformazione continua di oggetti geometrici. Come già insegnava la vecchia geometria analitica cartesiana, ad un’equazione corrisponde una curva (o una superficie, o qualche altro oggetto geometrico con un numero maggiore di dimensioni), cosicché il problema algebrico di sapere il numero delle soluzioni di un’equazione coincide col problema geometrico di contare i punti “buoni” sulla figura geometrica corrispondente. E ciò a sua volta richiede una comprensione profonda delle proprietà geometriche di questa: punti d’inversione, torsioni, buchi, ecc. La geometria algebrica stabiliva in maniera precisa la dipendenza del numero delle soluzioni dell’equazione dalle proprietà geometriche della figura corrispondente. Però occorreva prima avere gli strumenti per conoscere queste proprietà al variare del campo numerico ammesso!

Quando il matematico fa questo tipo di ricerche si muove con la mente lungo curve o attraverso superficie e altre varietà; e passando da un punto all’altro la sua esplorazione può essere ostacolata dal fatto che qui o là non ci siano abbastanza punti. Una persona normale si arresterebbe, come un esploratore davanti ad un fiume o ad un abisso o ad un monte insuperabili. Ma un matematico no. Il matematico accerchia il problema astraendo, chiedendosi se la sua questione non possa rientrare in una più vasta, con una o più dimensioni ulteriori, da cui la questione di partenza potrebbe essere aggredita più facilmente. Come i Romani a Masada, che affrontando la fortezza dal cielo… se la trovarono spalancata. O Giosuè a Gerico, le cui mura gli caddero ai piedi agli squilli di tromba suggeriti dal Signore. Le congetture di Weil furono finalmente provate, quasi senza sforzo, ma ciò aveva prima richiesto tra il 1960 e il 1974 un volo di astrazione come forse mai prima era avvenuto nella storia della matematica.

Che cos’è un’astrazione? È un processo del pensiero nel quale, davanti a qualcosa di complicato, decidiamo di focalizzarci su pochi aspetti o anche su uno solo, eliminando tutti quelli che ci possono distrarre dalla “struttura” cui siamo in quel momento interessati. Quando un bambino comincia a contare 1, 2, 3,… fa forse la prima astrazione nella sua vita (e con ciò esegue la sua prima operazione matematica), perché considera gli oggetti solo nell’aspetto quantitativo, disinteressandosi di tutte le altre qualità che li differenziano. Il progredire della matematica coincide con la creazione di sempre nuove astrazioni da astrazioni precedenti, come in un’elevazione verso un cielo sempre più alto e sempre meno denso…

I matematici creano così oggetti che si comportano quasi come numeri, ma che non ne seguono tutte le regole; rette parallele che si vanno incontro; spazi con 4 o 11 o infinite dimensioni, e infinite di ordini cantoriani diversi; categorie, funzioni, grafi, ecc. Se credi, lettore, che la teoria degli insiemi sia il processo più elevato di generalizzazione, sei invitato a ricrederti: gli insiemi sono il linguaggio unitario di tutte le aree matematiche, così come la logica ne è lo strumento unitario di manipolazione. L’astrazione matematica trovò nella mia mente il suo apice quando appresi in qual modo le congetture di Weil poterono essere dimostrate: con una teoria nuova di zecca, la teoria degli schemi.

La teoria degli schemi è una creatura di Alexander Grothendieck, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Con questa teoria Grothendieck ha apportato nella seconda metà del secolo scorso, in appena una decina d’anni, una tale rivoluzione in matematica da potersi paragonare solo alla rivoluzione che nella prima metà dello stesso secolo apportò Einstein in fisica con le due teorie della relatività, in un ugual breve periodo. Nella teoria degli schemi tocca al punto, il fondamento di tutta la geometria, subire l’ennesima generalizzazione.

Nella geometria elementare, i punti sono oggetti che “non hanno parti” (Euclide) e si prolungano all’infinito in tutte le direzioni dello spazio. Dopo la geometria cartesiana, potremmo equivalentemente dire che un punto è una posizione dove ogni funzione assume un valore costante. Ma questi sono solo i “punti di partenza” in matematica moderna. Dall’incrocio della teoria degli insiemi con l’analisi era nata all’inizio del XX secolo l’analisi funzionale. Già qui il punto fa un salto di qualità: ogni funzione vi è trattata infatti come un “punto” appartenente ad uno spazio astratto e si studiano operazioni e trasformazioni che sono eseguite su intere regioni di questo spazio, con lo spin off dell’apparizione di nuovi strumenti buoni per tutte le aree matematiche.

Grothendieck e il suo gruppo di Nancy (1958-’70)

Nella teoria degli schemi invece, ci sono molti generi di punti, dotati di una struttura interna che è determinata dalle specie di funzioni sempre costanti da essi supportate: così c’è una moltitudine di punti complessi che ruotano nello spazio, in fin dei conti perché esistono due radici quadrate di -1 interscambiabili, e ci sono altre moltitudini di punti ancora più complicati. Il piano, caro lettore, brulica di tante specie di punti di cui al liceo non hai neanche sentito l’accenno. Per non parlare dello spazio e degli iperspazi… E così, per serendipity, salta fuori che quando tutti questi punti-extra vengono presi in considerazione, molte questioni matematiche di aree diverse che non si sapeva neanche da che parte afferrare si fondono in una.

Lo schema è l’idea da cui tutte le varietà algebriche prendono incarnazioni diverse e da cui possono essere affrontati i problemi in ogni singola incarnazione. Gli schemi hanno la caratteristica di strumenti sufficientemente generalizzati e potenti per rappresentare e allo stesso tempo risolvere i problemi di tutte le aree matematiche, discrete e continue. La risoluzione dell’Ultimo teorema di Fermat si deve per la gran parte alla teoria degli schemi.

L’astrazione da una struttura ad un’altra si chiama in matematica morfismo. Con ciò, i morfismi sono strumenti per descrivere ogni cosa dotata di una struttura. Se “la matematica è il linguaggio del mondo” (G. Galilei) ciò si deve semplicemente al fatto che il mondo è una struttura (di strutture di strutture…) e la matematica è la scienza dei morfismi. Perché allora stupirsi dell’“efficacia irragionevole della matematica nelle scienze naturali” (E. Wigner), che hanno proprio per oggetto lo studio delle strutture del mondo? Piuttosto stupiamoci dell’esistenza di una specie come quella umana che fa morfismi, cominciando dallo “schema” di dare un nome ad ogni cosa.

“L’uomo è un animale che parla” (Aristotele). Da quando esiste – anzi in quanto esiste, perché in ciò si differenzia dalle altre specie – l’uomo chiama le cose, creando con la lingua morfismi dalle cose (classificate per astrazioni successive) alle parole; e crea morfismi di morfismi (concetti e teorie) con i linguaggi del mito, della religione, dell’arte, della cultura, della filosofia. E della matematica. Questo sì dei linguaggi umani dei diversi generi, ossia del simbolo, è un mistero del quale non abbiamo alcuna spiegazione. Col simbolo dell’uomo l’Universo acquista consapevolezza di se stesso.

Nell’incontro con le congetture di Weil e la teoria degli schemi, riconobbi in un lampo finalmente la characteristica mathematica che cercavo da studente: la classificazione dei morfismi di morfismi in un linguaggio logico univoco. Questa ricerca di nuovi, sempre più astratti, morfismi di morfismi di morfismi… arriverà mai alla fine? Bella domanda. Che merita forse il tentativo di una risposta in altra occasione.

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